排列组合简单练习

照相

题目描述

某个班级有N个学生，现在从中选择r个学生出来，从左往右排成一行照相，有多少种不同的排列？答案模10007.

输入格式

一行，N和r。1 <= N<=1000, 1<=r<=N

输出格式

一个整数。

输入样例

1000  2

输出样例

8307

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解题思路

本题分两步走：

1. 选出这r个学生：$C{}_N^r$
2. 排列这r个学生：$A{}_r^r$
   因为是分步执行，所以是乘法原理：$$C{}_N^r\times A{}_r^r$$

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代码

#include
#include

using namespace std;
int N,r;
unsigned long long p=1,ans=1,f[1005][1005];

int main()
{
	freopen("1034.in","r",stdin);
	freopen("1034.out","w",stdout);
	cin>>N>>r;
	for(int i=1;i<=r;i++)
	{
		p*=i;
		p%=10007;
	}
	for(int i=0;i<=N;i++)
	{
		f[i][i]=1;
		f[i][0]=1;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
			f[i][j]%=10007;
		}
	ans=f[N][r]*p%10007;
	cout<<ans;
	return 0;
}

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L字符串

题目描述

由小写字母构成的长度是L的字符串，要求相邻的字符不相同，问这样的字符串总共有多少个？答案模10007。

输入格式

一个整数L 。 1 <= L <= 100.

输出格式

一个整数。

输入样例

2

输出样例

650

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解题思路

我们单独考虑每一个位置的情况：
第一个位置26个字母可以任意放置，第二个位置不能与第一个位置相同，所以可以放25个字母，第三个位置不能与第二个位置相同，所以可以放25个字母，为什么第三个位置可以放25个字母呢？我们看看以下序列：

位置	1	2	3
放置了的字母	a	b	?

前面两个位置是合法的，我们来思考一下第三个位置，因为题目说不与相邻的字母相同，所以第三个位置可填：
a，c，d，e，f，g，h，i，j，k，l，m，n，o，p，q，r，s，t，u，v，w，x，y，z
一共25个字母。同理，后面的位置也可填25个字母，由此可以列出以下表格：

位置	1	2	3	$\cdots$	$L-1$
可放置的字母方案数	26	25	25	$\cdots$	25

答案就是：$$26\times 25{}^{L-1}$$

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代码

#include
#include

using namespace std;
int L;
int ans=26;
int main()
{
	freopen("1036.in","r",stdin);
	freopen("1036.out","w",stdout);
	cin>>L;
	/*
	第一个位置可以填26个字母 
	因为题目要求相邻的字符不相同，所以第二个位置可以填25个字母，不能与第一个相同 
	第三个位置也可以填25个字母，不会与第二个位置字母相同
	以此类推： 
				1 	 2 	  3 	...	   L-1 	 L
	answer =	26 * 25 * 25  * ...  * 25  * 25
	*/
	for(int i=1;i<L;i++)
	{
		ans*=25;
		ans%=10007;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

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派水果

题目描述

若一位母亲手里有m个相同的苹果，还有n个相同的梨，在m+n天内分给她的小孩，每天分一个水果，有多少种不同的分派方案？答案模10007。

输入格式

一行，m和n, 1 <= m,n <= 1000。

输出格式

一个整数。

输入样例

2 3

输出样例

10

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解题思路

（本题思路作者不是很记得了，所以解释的会略有含糊，还请望各位大佬给出一种十分明确的解释）
从题目可以得知，有$m$个相同的苹果，还有$n$个相同的梨，那么就不属于排列问题了，而是一个组合问题。

在这$m+n$天里，怎么组合这$m$个苹果和$n$个梨呢？
通过手动模拟样例，我们可以发现，只要求出$m+n$和$m$与$n$中最小的一个数的组合数就可以得到正解了。
因为如果用较大的一个数做计算，会出现一些虽然分配顺序不同，但分配方案相同的情况，不符合题意。
所以本题正解：$$C{}_{m+n}^{min(m,n)}$$

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代码

#include
#include

using namespace std;
int n,m;
int f[3005][3005];

int main()
{
	freopen("1035.in","r",stdin);
	freopen("1035.out","w",stdout);
	cin>>m>>n;
	for(int i=0;i<=m+n;i++)
	{
		f[i][i]=1;
		f[i][0]=1;
	}
	for(int i=1;i<=m+n;i++)
	{
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
			f[i][j]%=10007;
		}
	}
	cout<<f[m+n][min(m,n)]%10007;
	return 0;
}