大数素数判断及质因子分解

判断是否是素数

几个常用的sqrt(n)复杂度的就不说了。
对于一个 longlong 范围或者更大的数，怎么快速判断一个数是不是素数，就要用到Miller_Rabin算法.
立用a^(n-1)=1(mod n) 怎么来的就不解释了，有兴趣的同学可以看看算法导论P566有详细推导。
在这个的基础上用 随机数进行测试（直接用的话会有一些伪素数）。
里面 a用随机数随机， (n-1) 写成 2^r*s 为啥这么写我也不知道，反正大家都是这么写的 qaq
然后就根据上面那个判断就行了
这个算法有时候会出错，出错的概率差不多是 2^-循环次数

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

inline LL ksc(LL x,LL n,LL mod) { LL res=0; while(n>0) { if(n&1)res=(res+x)%mod; x=(x+x)%mod; n>>=1; } return res%mod; } inline LL ksm(LL x,LL n,LL mod) { LL res=1; while(n>0) { if(n&1)res=ksc(res,x,mod); x=ksc(x,x,mod); n>>=1; } return res%mod; } bool check(LL x) { //Miller_Rabin算法，判断n是否为素数 for(int i=0; i<50; i++) { int a=rand()%(x-1)+1,k=0; LL t=x-1; if(ksm(a,x-1,x)!=1)return 0; while(t&1==0) { ++k; t>>=1; } LL u=ksm(a,t,x),l=u; for(int i=1; i<=k; i++) { u=ksc(u,u,x); if(u==1&&l!=1&&l!=x-1)return 0; l=u; } } return 1; }

 

质因子分解

pollard_rho算法,这个算法十分玄学，找到一个数x0 ，然后用一个玄学递推得到 x1=x0*x0 + 一个随机数 然后用两个的差值去和 n做 gcd 然后得出来如果是1就继续找，如果不是1 不就是个因子吗？ （个人理解有点像直接随机一个数和他做GCD有没有公约数。。。。）

补充说明一下 x=(x*x +c)%n 是一个滚循环 像ρ所以称为pollard_rho算法，所以要判断循环结 用 floyd 判断。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

LL pollard_rho(LL n, LL c) { LL i = 1, k = 2; LL x = rand() % (n - 1) + 1; LL y = x; while (1) { i++; x = (ksc(x, x, n) + c) % n; //玄学递推 LL d = __gcd((y - x + n) % n, n); if (1LL < d && d < n) { //如果有因子就直接返回 return d; } if (y == x) { //如果找到了循环节就跳出 return n; } if (i == k) { //空间 o1 判断循环节用的 ，看不懂你没救了 y = x; k <<= 1; } } } LL fac[100],ct; void find(LL n, int c) { if (n == 1) { return; } if (check(n)) { fac[ct++] = n; //是个质因子 return; } LL p = n; LL k = c; while (p >= n) { p = pollard_rho(p, c--); //如果是合数总会找到一个因子 } find(p, k); //继续找 find(n / p, k); }