图论——生成树

最小生成树

常用的是两种基于贪心的算法。

Prim

类似于Dijksrta求解单源最短路径的过程。
每次从为访问过的结点中选取出到树上的距离结点最小的结点，并用其更新其他结点到树上结点的距离，重复该过程直到所有结点都被访问（即生成了一棵树）。
通常取$1$为初始结点

int dis[N], G[N][N];
bool vis[N];

int Prim() {
  int mst = 0;
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)), dis[1] = 0;
  for (int k = 1; k <= n; ++k) {
    int u = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
      if (!vis[i] && dis[u] > dis[i]) u = i;
    vis[u] = true;
    mst += dis[u];
    for (int v = 1; v <= n; ++v)
      dis[v] = min(dis[v], G[u][v]);
  }
  return mst;
}

时间复杂度$O(n^2)$。

优化

同Dijkstra，每次查找$dis$最小的结点的过程可以用堆或线段树等数据结构优化，这里给出堆优化的代码。

int dis[N], G[N][N];
bool vis[N];
priority_queue<pair<int, int>,
  vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > > Q;

int Prim() {
  int mst = 0;
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)), dis[1] = 0;
  Q.push(make_pair(0, 1));
  while (!Q.empty()) {
    int u = Q.top().second; Q.pop();
    if (vis[u]) continue;
    vis[u] = true;
    mst += dis[u];
    for (int v = 1; v <= n; ++v)
      if (dis[v] > G[u][v]) {
        dis[v] = G[u][v];
        Q.push(make_pair(dis[v], v));
      }
  }
  return mst;
}

时间复杂度$O(m\log n)$

Kruskal

Kruskal算法可以看做是一个不停地往最小生成树里加边的过程。
算法流程如下：

1. 把图中所有边按权值从小到大排序，初始化每个结点所在的集合。
2. 按顺序考虑每条边，若该边的两个端点$u$、$v$不在同一集合内，则将该边加入最小生成树中，并合并$u$、$v$所在集合。
3. 重复以上过程，直到选出了$n-1$条边。
   时间复杂度$O(m\log m)$。

最小生成树森林

求解有$k$棵树的最小生成树森林，同样可以使用Kruskal算法。
与求解最小生成树的流程区别就是把终止条件改为选出$n-k$条边。

Kruskal重构树

目前不会

性质

回路性质

在原图上任取一个环，环上权值最大的边一定不出现在最小生成树中

切割性质

把节点分为S和T两部分，在所有连接S和T的边中，边权最小的那条一定出现在
最小生成树中

次小生成树

由切割性质可以得出结论，次小生成树与最小生成树仅有一条边的差距。
于是先求出最小生成树，枚举每一条非树边$(u,v)$，用$w(u,v)$替换从$u$到$v$的最大边。这个过程可以用树上倍增优化。
总时间复杂度$O(m\log n+m\log m+m\alpha (n))$。

最短路径树

对于一张无负环图，选定一个源点，该源点到每个点的最短路径构成一棵树。

Prufer数列

Prufer数列是一种无根树的数列，由一棵$n$个结点的树转化的Prufer数列长度为$n-2$。

无根树转Prufer数列

对于一棵有$n$个结点的无根树，可以通过迭代删点的方式求出Prufer数列。
流程如下：

1. 找到叶子结点中编号最小的结点，删除它和与它相连的边，并将这条边连接的另一个结点加入Prufer数列。
2. 重复上述步骤，直到原图仅剩两个结点。

Prufer数列转无根树

设$\{a_{n-2}\}$为一棵树的Prufer数列，$\{G_n\}$为点集，则将Prufer数列转换为无根树的流程为：

1. 找出$\{G_n\}$中未在$\{a_{n-2}\}$中出现的最小的数，将其与$\{a_{n-2}\}$的首项连边，并将该点与$\{a_{n-2}\}$的首项删除。
2. 重复上述步骤，直到生成一棵树。

Prufer数列的应用

可以用于求解满足给定条件的生成树共有多少种。

生成树计数

矩阵树定理

目前不会。。。

完全图的生成树

一张有$n$个结点的完全图，有$n^{n-2}$棵生成树。
证明
由于每一棵生成树对应一个prufer数列，而prufer数列有$n^{n-2}$个，所以共有$n^{n-2}$棵生成树。