线性代数 -- 3 线性变换与矩阵

3 线性变换与矩阵

开篇一个问题， 即能让线性代数的其他内容一目了然， 又经常会被忽略：线性变换的概念以及它和矩阵的关系。

首先， 我们来解析 线性变换 这个术语 ， 变换本质是函数的一种花哨的说法， 它输入内容， 并输出对应结果。 在线性代数中我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。

• 既然 函数 和 变换 的意义相同， 为什么使用 变换 而 不用 函数， 因为 变换是在暗示以特定方式可视化这一输入 输出关系， 用运动的思想来理解 ‘’向量的函数‘’ 。如果一个变换接收一个向量，并输出一个向量， 我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置。
• 理解 ‘’变换‘’ 你得承认 各种各样对空间的变换所产生的效果是很美妙的， 同时也是很复杂的。 幸运的是， 线性代数限制在一种特殊类型的变换上，这种变换跟容易理解， 称为 ‘’线性变换‘’。 直观的说， 如果一个变换具有以下两条性质， 就称它为线性的
  • 直线变换后仍是直线
  • 原点固定
    或线性变换是保持整个二维空间中网格线平行且等距分布 的变换

如何用数值来描述线性变换。给计算机什么样的计算公式 ，使得你给它一个向量坐标， 它能给你变换后的向量的坐标？

• 实际上， 只要记录两个基向量i j 变换后的位置， 其它向量都会随之而动。
• 例如：坐标为（-1， 2） 的向量 v = -1 i + 2 j [-1 , 2] 竖着看
• 运用变换
• 网格线保持平行且等距分布的性质有一个重要的推论 ， -1 与变换后的i之积， 加上2与变换后的j 之积。

换句话说，向量v 是 i 帽和 j帽 的一个特定组合， 那么变换后的向量v 也是变换后的i 帽和 j帽 的一个特定组合， 只要知道变换后的i 帽和 j帽 就可得到变换后的v。（有了特定组合， 知道变换后的 i 帽和 j帽， 就可以不用管变换是什么， 直接得到变换后的v。）

综上所述：一个二维空间的线性变换仅仅由四个数据完全确定。

这是一个描述线性变换的2*2矩阵， 如果有一个任意初始向量， 你想了解线性变换对这个向量的作用， 则只要取出向量的坐标， 与特定列向量相乘再相加， 会得到关于 任意初始向量 线性变换之后的结果。

综上：这个过程就是一个矩阵相乘的过程， 可以视为它们的线性组合。

总之：线性变换就是操纵空间的一种手段， 只需要几个数字就能描述清楚， 就是变换后基向量的坐标， （变换过程中整个空间也随之变换， 并且整个空间中的网格线保持平行， 等距分布）以这些坐标列构成的矩阵， 为我们提供了一种描述线性变换的语言， 而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。 所以我们每当看到一个矩阵时，都可以把它解读为对空间的一种 特定变换。