DFS入门——素数环问题

题目出处：《信息学奥赛一本通》例5.1。

题目描述

素数环：从 \(1\) 到 \(n(2 \le n \le 20)\) 这 \(n\) 个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。

输入格式

输入包含一个整数 \(n(2 \le n \le 20)\) 。

输出格式

按字典序从小到大的顺序输出所有排列方案，每个排列方案占一行。每行的 \(n\) 个数之间由一个空格分隔。

样例输入

2

样例输出

1 2
2 1

问题分析

很明显，这是一道可以用搜索解决的问题，我们可以采用“回溯”思想，使用深度优先搜索解决这个问题。
我们用 ans[] 数组来存放我们当前遍历到的答案， ans[id] 用于表示当前排列的第 id 个数是什么。所以我们可以开一个函数 void f(int id) 来表示要在第 id 个位置放数，我只需要从 1 到 n 遍历每一个数（我这里假设是 i），并判断 i 是否能放。
在第 id 个位置能放 i 当且仅当：

• \(ans[1]\) 到 \(ans[id-1]\) 都不等于 \(i\)，即 \(i\) 之前没有放过；
• 当 \(id \gt 1\) 时，满足 \(ans[id-1]+ans[id]\) 是素数；
• 当 \(id = n\) 时，满足 \(ans[1] + ans[n]\) 是素数。

这样，我们递归地调用 f(id) ，当 id>n 时就是我们递归的边界条件；一旦 id>n 就说明我找到了一种方案。
实现代码如下：

#include
using namespace std;
int ans[22], n;
bool isp(int a) {   // 判断a是否是素数
    if (a < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= a; i ++) if (a%i==0) return false;
    return true;
}
void output() {     // 输出一种排列方案
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cout << (i>1 ? " " : "") << ans[i];
    cout << endl;
}
void f(int id) {    // 搜索函数，在第id个位置尝试放上一个数
    if (id > n) {   // 边界条件
        if (isp(ans[1]+ans[n])) output();
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 遍历i = 1 to n ，看看第id个位置能否放i
        bool flag = true;
        if (id > 1 && !isp(ans[id-1]+i)) flag = false;
        if (flag) {
            for (int j = 1; j < id; j ++)
                if (ans[j] == i) {
                    flag = false;
                    break;
                }
        }
        if (flag) {
            ans[id] = i;
            f(id+1);
        }
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    f(1);
    return 0;
}