数字滤波器(三)--模拟滤波器的设计

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统

前言

IIR滤波也就是无限长单位冲击响应滤波器，基本结构和MATLAB实现可以参考本专栏第一篇博客：数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现。 IIR滤波器的设计步骤主要由下图所示的三个大步骤组成。首先我们要设计出模拟原型滤波器，然后将滤波器数字化为相应的数字低通滤波器，然后在记性数字域的转换称为我们希望得到的选频滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

再来说一下IIR滤波器的优缺点：

• IIR滤波器的优点

  • 可以利用模拟滤波器设计，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。

• IIR滤波器的缺点

  • 相位是非线性的
  • 冲击响应无限长，所以不能做快速卷积运算
  • 存在稳定性问题

  本篇博客主要讲述了怎么设计以及实现常用的模拟滤波器，巴特沃斯滤波器与切比雪夫Ⅰ型滤波器。

1. 模拟滤波器的系统函数

模拟滤波器的系统函数通常用$H_a(s)$表示，而模拟滤波器的响应可以用$H_a(j\Omega )$表示，所以模拟滤波器的幅度平方函数的表达式为：

对于实滤波器，零极点在s平面是以共轭复数对的形式出现，如下图所示：

我们来看一下s平面和z平面的对应关系：

s平面中$\sigma <0$的区域对应的就是z平面上的单位圆，为什么要讨论这个关系呢？因为滤波器肯定都要求是因果稳定的系统，其系统函数在z平面的极点都在单位圆内部，所以对应在s平面，极点应该分布在左半平面。如果要求是最小相位延时系统，那么系统函数的零点也都应该分布在s平面的左半平面。

2 巴特沃斯滤波器

2.1 设计指标

首先我们了解一下巴特沃斯滤波器的形状，如下图所示：

从上图可以看出，巴特沃斯模拟滤波器具有最大平坦振幅特性，阻带单调变化。阶数N越大，曲线越抖，滤波器特性越好。

设计巴特沃斯滤波器需要考虑一下指标(指标对应下图)：

• N: 滤波器阶数
• ${\Omega }_p$：通带截止频率
• ${\Omega }_c$：滤波器截止频率，又称3dB带宽，其对应的赋值为$\frac{1}{\sqrt{2}}$
• ${\Omega }_{s}t$: 阻带截止频率
• ${\delta }_p$: 通带衰减(波纹)（dB）
• ${\delta }_s$: 阻带衰减(波纹)（dB）
  

2.2 设计流程

• 第一步：根据指标要求确定滤波器阶数N(向上取整)与滤波器截止频率

• 第二步： 根据阶数进行查表，得到归一化的系统函数$H_{a}N(s)$:
  
  系统函数的归一化表达式为：

• 第三步：将系统函数进行去归一化，得到最终的系统函数：
  

下面我们通过一个例子来感受一下设计巴特沃斯滤波器的过程：

3. 切比雪夫Ⅰ型滤波器

3.1 设计指标

切比雪夫模拟滤波器分为Ⅰ型和Ⅱ型两种，我们来看下一两种滤波器的响应曲线。

• 切比雪夫Ⅰ型
  振幅特征在通带内是等波纹的，在阻带内单调下降：
  
  对于滤波器的阶数N，为奇数时和偶数时滤波器的通带波纹是不一样的，N为奇数时，$\Omega =0$时的幅度为1，N为偶数时，$\Omega =0$时的幅度为$\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon }^2}}$
• 切比雪夫Ⅱ型
  振幅特性在阻带内是等波纹的，通带内是平稳的：
  
  本篇博文重点讨论切比雪夫Ⅰ型滤波器。
  设计比雪夫Ⅰ型滤波器需要考虑以下指标：
• $N$：滤波器阶数
• ${\Omega }_c$：通带宽度
• ${\delta }_p$: 通带衰减(波纹)（dB）
• ${\delta }_s$: 阻带衰减(波纹)（dB）

3.2 设计流程

• 第一步：根据指标要求确定滤波器阶数
  滤波器的阶数可以由通带、阻带衰减确定：
  
  其中双曲余弦函数$arcch(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$

• 第二步：根据阶数和通带波纹进行查表
  此时截止频率是归一化的：
  
  通过查表可以确定模拟滤波器归一化系统函数：
  
  其中的系数$d_0$可以通过 $H_a(j0)=H_{aN}(s){|}_{s=0}$确定， 当阶数N为奇数时， $H_{aN}(s){|}_{s=0}=1$，当阶数N为偶数时，$H_{aN}(s){|}_{s=0}=\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon }^2}}$，其中参数$\epsilon$可以通过公式：${\epsilon }^2=10^{0.1{\delta }_p}-1$ 来确定。

• 第三步：将系统函数进行去归一化，得到最终的系统函数
  
  下面我们通过一个例子来感受一下设计切比雪夫Ⅰ型滤波器的过程：