基础数论（1）素数筛法

（这是我这个小白人生的第一篇博客，很光荣的给了数论这个模块，了解我自己，之后一定会回头看自己写的骚东西，所以在这个开头就告诉未来的自己，选择了的路一定要坚持下去，无论前方的路多么难走，切记不忘初心，加油，不放弃！）
下面进入正题：
本篇主要总结各种素数筛法，希望能将这一知识点学通透，并能熟练的运用。

基础数论（1）素数筛法

素数

定义：

一个大于1的自然数，除了1和他本身，不能整除其他自然数的数，叫做素数。

单个素数n的判定方法：

枚举从2到n-1的所有数，看是否存在被n整除的数，若存在，则不是素数，若不存在，则是素数。
但其实只需枚举根号次，即2到根号n。
原因（自己想的）：
2乘n/2等于n，3乘n/3等于n…根号n乘根号n等于n，以此类推，若n整除2成立，则n整除n/2必定也成立，因此只需判定2到根号n这一区间内是否存在被n整除的数，即可判断n是不是素数。

下面是该方法的代码：

bool  Is_prime （int  n ）
{ 
    for （int  i = 2 ; i * i <= n ;  i++ ）
    { 
        if (n % i ==0 )  return 0 ;
    } 
    return  true ; 
}

那么现在问题来了，如果现在有m个数需要判断是否是素数，然后m<=1000000, n<=100000000 , 此时分析一下以上方法的时间复杂度，很容易分析得出：

一般来说平台一秒能跑大约不到1e8，于是当出现以上那种扯淡的数据的时候，一般规定时间是1秒，就可能会TLE，因此可以得出结论，偷懒不怎么用动脑的方法是行不通的，于是就开始探寻新的方法。
牛逼的方法往往要在后面出，因为是在学习总结，所以一步一步循序渐进的来不断优化和探索。那么就看下一个方法：

埃氏筛法：

埃氏筛法其实很好理解，筛法筛法，顾名思义是要进行筛除，那么具体如何筛除才能留下所要的素数呢。筛除范围是2到n，2是最小的素数，所以将2到n之内2的倍数筛除，那么剩下的最小的数便是3，这时候我们联系上面无脑的单个素数判定方法，就是看2到根号n之内的数是否存在一个能被n整除，这时候对于3，已经被前面筛过的2检测过了，并且留下来了，因此3便是素数。以此类推，再将3的倍数全部筛除，此时剩下的最小的数是5，是被2和3都检测过并且留下的数，因此5也是素数，这样不断筛下去，就能得出2到n之内的素数。
可能会人有疑问，当不断地往后进行筛除步骤时，比如到了17，2到根号17之内的数，还有一个4并没有被检测过，这样会不会出现问题，但是其实4已经被2筛除了，17连2都无法整除，又怎么整除4呢？这样看来，从逻辑上来判断这个埃氏筛法是正确无误的。
（以上筛除原理是我自己的理解，如有不对还请各路大神指正。）

然后我们用代码来实现：

#include 
#define N 10000005
using namespace std;

bool Is_prime[N+5];//检测是否被筛除``
int prime[N+5];//放素数的素数表
int cnt=0;//素数个数统计
void aishai(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)Is_prime[i]=true;//先将所有的数都放在表里，留待后面筛除
    Is_prime[0]=Is_prime[1]=false;//0和1都不是素数，提前筛除
    for(int i=2;i<=n;i++)//开筛
    {
        if(Is_prime[i])
        {
            prime[cnt++]=i;//当前数未被筛除，存入素数表
            for(int j=i+i;j<=n;j=j+i)
            {
                Is_prime[j]=false;//将当前素数的倍数进行筛除
            }
        }
    }
    return ;//筛完收工
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    aishai(n);
    for(int i=0;i<cnt;i++)cout<<prime[i]<<" ";
    return 0;
}

试着检验了一下，随便举了个数1000

（其实上面的代码还可以精简一些，比如bool数组完全不用多初始化一遍，false和true反过来用就完事了，void函数return也不用加，但是为了容易理解和emmm博客效果所以就这么写了）

然后分析一下埃氏筛法的时间复杂度，其实我也不太会分析，这里就直接抄学长的了，为O(nloglogn)。可以看出来，相比无脑的方法，明显快多了，那么，还没木有更快的方法呢…当然有了…

下面开始这篇博客的核心方法，也是本菜鸡之前死背下来的方法，近似线性O（n）的欧拉筛法。

欧拉筛法：

首先先来看已经很牛逼的埃氏筛法哪些地方可以进行优化改进，我们可以发现，在每次筛除的时候，其实质因数比较多的数都会被他的多个质因数重复筛除，而这一操作是没有必要的，不需要用他的多个质因数去筛一遍又一遍。因此欧拉筛法相比埃氏筛法改进的最精髓最关键的地方在于，让每个数只被他的最小质因数筛除一次，节省了大量时间，所以才达到了近似O（n）的时间复杂度。
那么如何实现这一操作呢，这里我思考了很久，中间自己傻乎乎的琢磨了半天，其实也没太琢磨透彻。就大概的解读下代码吧。

上代码：

#include 
#define N 10000005
using namespace std;

bool Is_prime[N+5];//检测是否被筛除
int prime[N+5];//放素数的素数表
int cnt=0;//素数个数统计
void oulashai(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)Is_prime[i]=true;//先将所有的数都放在表里，留待后面筛除
    Is_prime[0]=Is_prime[1]=false;//0和1都不是素数，提前筛除
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(Is_prime[i])prime[cnt++]=i;//判断是否被筛，放入素数表
        for(int j=0;j<cnt;j++)//核心来了
        {
            if(i*prime[j]>n)break;//如果乘积比范围大，跳出，优化省时间。
            Is_prime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)break;//见下面详解
        }
    }
    return ;//筛完收工
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    oulashai(n);
    for(int i=0;i<cnt;i++)cout<<prime[i]<<" ";
    return 0;
}

这次测个5000

着重解释一下下面这个东西。

for(int j=0;j<cnt;j++)//核心来了
        {
            if(i*prime[j]>n)break;//如果乘积比范围大，跳出，优化省时间。
            Is_prime[i*prime[j]]=false;//(1)标个序号，下面解释用
            if(i%prime[j]==0)break;//(2)序号
        }

还是自己粗浅的理解，我们注意到，在埃氏筛法中，我们通过一层一层的筛倍数，来实现对整体所有数据的一遍遍筛除，可是在欧拉筛法中，却有所不同（废话）。
模拟代码(1)运行，我们发现，prime[0]=2，把这个单独拿出来，每次都是把i乘prime[0]也就是2这个数筛除，不断向后运行重复这个筛除i乘2的过程，可以发现，我们提前把n的范围内2的所有倍数都筛除了，以此类推，每个素数的倍数往后筛，都会逐渐的筛除，留下的就是素数了。这是（1）这行代码的作用，大神们不要笑我，我开始看不明白还就真的是这行没看懂。
然后再看欧拉筛法的关键性精髓，就是序号（2）这行代码，这个跳出操作。我个人觉得这行代码比（1）容易理解。。。。。我粗浅的理解下，如果满足这个i%prime[j]==0的条件，那么说明此时这个i是当前素数表中某个素数的倍数，而因为从头开始遍历，这个素数正是i的最小质因数，这样就实现了让筛除次数尽可能少，每个数只被筛一遍的操作。
还是举个栗子，2和3的倍数6，如果用埃氏筛法，会被2筛过后，又被3踩一脚。然而用欧拉筛法，在i等于3的时候，i乘2等于6，6被筛除，当后面到i等于6的时候，6余2等于0，直接跳出，不用再筛了。
这样分析下来，好像还有那么几分道理…其实具体的我也没有想明白，但是分析到这个程度已经不影响灵活的应用了。

下面贴一个应用的模板例子吧。（我开始皮了）

中国石油大学（华东）的ACM俱乐部有很多大神，很多可爱的学长学姐。其中有一位贼强的学长大家都叫他楠神，这一天，刚刚进入实验室的小旬同学想要加楠神的qq好友，结果怀着忐忑和激动的心情刚准备发送好友申请，却出现了眼前的这一幕，让小旬很是懵逼，感叹楠神不愧是楠神，真是太强大了，一般人还真的加不上他，小旬心想，用暴力做法岂不是会被他的好盆友小旭鄙视的无地自容？于是小旬决定不用暴力方法解决这个问题。

然后下面是小旬同学的做法。

#include 
#define N 10000005
using namespace std;

bool Is_prime[N+5];//检测是否被筛除
int prime[N+5];//放素数的素数表
int cnt=0;//素数个数统计
void oulashai()
{
    for(int i=0;i<=1000000;i++)Is_prime[i]=true;//先将所有的数都放在表里，留待后面筛除
    Is_prime[0]=Is_prime[1]=false;//0和1都不是素数，提前筛除
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(Is_prime[i])prime[cnt++]=i;//判断是否被筛，放入素数表
        for(int j=0;j<cnt;j++)//核心来了
        {
            if(i*prime[j]>1000000)break;//如果乘积比范围大，跳出，优化省时间。
            Is_prime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)break;//见下面详解
        }
    }
    return ;//筛完收工
}


int main()
{
    oulashai();
    cout<<prime[77116]<<endl;
    return 0;
}

最后小旬高兴的加上了楠神的好友，觉得自己巨强大，从此自封赵魔鬼。