数字信号处理——巴特沃斯滤波器设计

设计思路

这里采用间接法设计数字滤波器（先设计模拟滤波器再设计数字滤波器）

滤波器理解：
1.数字滤波器可以用H(z)，h(n)or系统差分方程来表示，对应的就是一个系统，信号输入该系统即可改变其所含频率成分的相对比例。
2.理想滤波器为什么无法实现？解：因为理想滤波器非因果，输出会在输入前产生，物理没法实现。（即理想滤波器对应时域无穷宽，在-∞时刻也会出现值，这是不可能的）
3.实际的信号滤波过程，在时域上进行，运用差分方程，实时输出信号。

间接法设计步骤：
1.设计模拟滤波器
1.1根据给定指标wp，ws，ap，as，算出巴特沃斯滤波器的阶数N以及wc（注意区分通带富余和阻带富余）
1.2查表得到G§的表达式
1.3将s=wc*p代入G§，得到H(s)的表达式
2.将模拟滤波器转换为数字滤波器
（转换的原因，离散信号是对模拟信号采样，然后序列化后得到的信号，故数字域的频率和模拟域的频率会存在一定的转换关系）
2.1脉冲响应不变法，模拟s域每2π/T为一个周期，都会映射到z域的单位圆，所以会出现频率混叠，但是数字域的频率w与模拟域的频率Ω是线性的关系，即w=Ω×T
2.2双线性变换法，将整个模拟频率轴压缩到±π/T，再映射到z域的单位圆上，故不会发生频率混叠，但是由于是非线性关系，数字域的频响曲线不能保真地模仿模拟域的频响曲线，会有一定失真

代码实现

两种办法设计滤波器（matlab在设计巴特沃斯滤波器时默认使用双线性变换）
1.直接数字滤波器
注：这里要对数字频率进行归一化（除fs/2）

fs=10000;
ap=3;
as=60;
wp_d=400/(fs/2);
ws_d=1500/(fs/2);
%设计巴特沃斯滤波器(数字)
[N_d,wc_d]=buttord(wp_d,ws_d,ap,as);
[b_d,a_d]=butter(N_d,wc_d);
figure;
freqz(b_d,a_d);

2.先设计模拟滤波器，然后再转换为数字滤波器
注：这里需要做“预畸变校正”，因为想要滤去的数字频率与对应的模拟频率是一个非线性关系。还有就是模拟频响函数为freqs。。。

wp_s=2*fs*(tan(pi/2*400/(fs/2)));
ws_s=2*fs*(tan(pi/2*1500/(fs/2)));
%设计巴特沃斯滤波器(模拟)
[N_s,wc_s]=buttord(wp_s,ws_s,ap,as,'s');
[b_s,a_s]=butter(N_s,wc_s,'s');
[n,d]=bilinear(b_s,a_s,fs);
freqz(n,d);

利用这个滤波器去对双频信号滤波，效果还不错

%生成信号
t=0:1/fs:0.2-1/fs;
f=sin(200*2*pi*t)+sin(1700*2*pi*t);
figure;
subplot(221);
plot(t,f);title('时域');axis([0 0.2 -2 2]);
F=fft(f);
fre=0:5:fs-5;
subplot(222);
plot(fre,abs(F));title('频域');

%滤波
res=filter(b_d,a_d,f);
subplot(223);
plot(t,res);title('滤波结果 时域');axis([0 0.2 -2 2]);
Res_F=fft(res);
subplot(224);
plot(fre,abs(Res_F));title('滤波结果 频域');

思考

如何解释使用使用带通滤波器却出现缓慢上升的现象？即下图

分析：
首先看到这个时域波形，我就觉得应该是h(n)在开头卷积的时候没有完全进入导致的，回来研究了下，大概可以解释这个现象了。

解：
原因在于在设计带通滤波器时，阻带边界频率与通带边界频率相差太短，故此时过渡带下降过快，对应时域的单位脉冲响应波形就会很宽，即这样：

所以在时域卷积时，反折平移，整个h(n)要花一定的时间才能进入，才会有了上图开头部分的缓慢上升现象。
如果把过渡带拉大，单位脉冲响应就会变窄，即：

得到的输出就好就不会出现上述情况，但是为了效果滤去的频率是不同的：