递归递推区别分析与例题总结

递归与递推

特点

递归(recursive)

运行过程中自我调用，求解过程分为回溯和递推两个过程，占用内存多（栈数先积累后收缩，有可能爆栈），代码简洁但低效。

尾递归和递归区别⬇

function story() {
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，一天老和尚对小和尚讲故事：story() // 尾递归，进入下一个函数不再需要上一个函数的环境了，得出结果以后直接返回。
}

function story() {
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，一天老和尚对小和尚讲故事：story()，小和尚听了，找了块豆腐撞死了 // 非尾递归，下一个函数结束以后此函数还有后续，所以必须保存本身的环境以供处理返回值。
}

尾递归省内存、高效(相当于迭代（或者说递推？）)

Python无法在语言中实现尾递归优化(Tail Call Optimization, TCO)，所以采用了for, while等特殊结构代替recursive的表述（优化是编译器干的，发现尾递归结构就给优化了）。

递推(iterative)

效率比递归高，尽量递推，除非只能递归。

例题

递推例子

一般都是数学题。。重点是找递推公式（也太好偷懒了吧）

平面分割问题

直线分割平面（基本结论）

如果当前有 n 条直线，新增加一条直线（第 n+1 条直线），可以多出来 n 个交点（新的直线和之前所有的直线都有交点），而多出来 n 个交点对应到可以多出 n+1 个平面（比如从两条线，又新增一条线时，新的线和两条线都相交，作用在三个区域上，对这三个区域切分，增加三个平面）。也即：
$$S_{n+1}=S_n+(n+1)=1+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

线圈分割平面

设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

当平面上已有n-1条曲线将平面分割成a_n-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的a_n-1个区域，一共有a_n-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是a_n=a_n-1+2(n-1)，边界条件a₁=2。

平面分割变体很多，在短时间内建立递推关系是难点。

折线分割平面

题目见链接⬆
对于折线：设第n-1条折线，把空间划分的区域为f(n-1)，为了增加的区域最多，新增的折线要和之前的n-1条折线的2(n-1)条边都相交（因为是折线所以每条边交了两次），交点数为4(n-1)，新增的线段数为4(n-1)，射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。新增区域数目为4(n-1)。

新增区域图示⬇
(多一个线段或射线都产生一个新区域，除了最左边那两条合起来只产生一个新区域。)

所以有递推公式：

f(n)=f(n-1)+4(n-1) + 1=2n²-n+1

偷懒方法

这类问题一般都有固定的公式，二维的一般是an²+bn+c，三维的一般是an³+bn²+cn+d。

用待定系数法求出各个系数就OK了。

Catalan数

$$C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$$

递归例子

斐波那契数列（Fibonacci）应用

得到的是递推式，但只能用递归写，或者优化为DP

兔子繁殖问题

有雌雄一对兔子，每过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？

设满x个月时共有兔子F(x)对，满x-1个月时共有兔子F(x-1)对，第x月当月新生的兔子数目为n对。
Fx=n+F(x-1)
n=F(x-2)❗ (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了）
得Fx=F(x-1)+F(x-2)
边界条件：F0=0，F1=1
由上面的递推关系可依次得到：
F2=F1+F0=1,F3=F2+F1=2,F4=F3+F2=3,F5=F4+F3=5…

繁殖问题通常与斐波那契数列有联系。类似题：母牛的故事。
可得递推式：
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}n& n<=4\\ f(n-1)+f(n-3)& n>4\end{array}$$

蜜蜂爬行

一只蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行，如图所示。

求出蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。

蜜蜂只能通过b-2或b-1点到达b点，显然有
$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(a+2<=n<=b)$$
边界条件为f_a=f_a+1=1。

汉诺塔问题

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

这里用递归更好理解（仅此而已，递推效率更高），也能求通项公式

1. 以Y杆为中介，将前n-1个圆盘从X杆移到Z杆(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)
2. 将第n个圆盘移到Y杆
3. 以X杆为中介，将Z杆上的n-1个圆盘移到Y杆(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)

设f(n)为将n片圆盘所在塔全部移动到另一塔最少总次数；由递归算法可知：f(1) = 1;当n>1时，f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1)。计算可得通项公式：f(n)=2ⁿ-1. (n>0)

有了递推公式f(n)=2*f(n-1)+1，递归就完了(数太大了，注意数据类型是ull)

关于ULL：
unsigned long long类型是目前C语言中精度最高的数据类型，可以用来表示20以内的阶乘数据，20以外的自测。
unsigned long long的精度是64位，double或者long double 虽然也占有8个字节，但是他们的实际精度只有53位。

使用 %llu 就可以打印一个unsigned long long数据了

#include

unsigned long long Hanoi(int n)
{
    if (n==1) return 1;
    return 2*Hanoi(n-1)+1;
}

int main()
{
	printf("%llu",Hanoi(64));
}

倒序输出正整数

先进后出，可以用栈实现（并不会）

例：给出正整数 n=12345，以各位数的逆序形式输出，即输出54321。

递归思想：首先输出这个数的个位数，然后再输出前面数字的个位数，直到之前没数字。

数列的递归表达式：
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{print}(n\%10),& \mathrm{n}<10\\ \mathrm{print}(n\%10);f(n/10),& \mathrm{n}>=10\end{array}$$
C代码如下：

void rev(int n)
{
    printf("%d",n%10);
    if (n > 10)
   		rev(n/10);
}

python最省事的就是切片：

print(str(s)[: : -1])