威尔逊定理

前言

好久没更博客了，今天讲一个比较冷门的定理，但在某些题中还是有一定用处的，叫威尔逊定理。
主要是比较简单，笔者的垃圾水平能讲的清楚

威尔逊定理

$(p-1)!\equiv -1$(mod p) 当p是质数时。
下面讲一下证明。
以下的-1都是在模p意义下的，实际上就是p-1。
我们知道$1\ast 1\equiv 1$(mod p),$(-1)\ast (-1)\equiv 1$(mod p)，且仅有这两组的逆元与本身相等。
这个很好理解，如果$x^2\equiv 1$(mod p)，那么$x^2-1\equiv 0$(mod p)，因式分解一下，
$(x+1)(x-1)\equiv 0$(mod p)，所以x=1或-1。
然后除了这两个数之外，2…p-2中的每一个数一定有一个对应的逆元，一定不与自己相等，这一点上面证过了，而且如果把取逆元看做一个映射，这就是个双射。
$a\ast a^{-1}\equiv 1$ 那么$a^{-1}\ast a\equiv 1$，所以$a=(a^{-1}{)}^{-1}$，即这两个数互为逆元。
如果p是2，结论显然成立，如果p>2，那么p一定是个奇数，所以2…p-2中恰好有偶数个数，且他们两两配对后的乘积模p都是等于1的，再乘上一个1，再乘上个p-1,即-1，所以$(p-1)!\equiv -1$(mod p)，当然前提是p是质数。