洛谷 P2014 选课---树形DP之一

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这是一道树形DP的题，它的特点在于选课的数目有上限，且一定得按树的关系生成，这与背包问题不大相同，这道DP思想关键之处就是通过能否找到这样一个关系，可以很好的描述子问题之间的联系，我们设f[i][j]为以第I个点为根结点，有j门课可以选，这个情况下的最大学分。

那么对于每一个节点i，它的各个j是由所有子节点共同决定的，因为对于i它可以拿任意个子节点，反正只要得到f[i][j]的最大值就好了，那么如何处理这些子节点才可以得到f[i][j]呢，一开始我想第一个节点拿x1门，第二个节点拿x2门。。。

最后x1+x2+…=j-1，（剩下的1给父节点）就好了，可这样很难表示，如何表示才能完整的描述所有情况？

类似完全背包处理多个物体的情况，我们只需要每个子节点重新走过上一个子节点的情况就好了，也就是说一开始先认为只有一个子节点，设为 v，那么有状态转移方程

f[i][j]=max(f[i][j],f[v][k]+f[i][j-k]),k表示v节点及它后面的树中一共拿k门课所能得到的最大的学分，这样我们就有了第一个子节点的状态，此后对于所有的子节点我们都用这一个方程，这样所有的子节点的状态都可以集成在f[i][j]中了。

细节的解释：
当遍历到新的节点状态，那么f[i][j]是我们要算的节点状态，f[i][j-k]目前存的还是上一个子节点的状态，这样就可以实现所有 “子节点的取值情况的遍历取最大值” 这一目标
为了实现这一目标我们必须对j按从大到小遍历，其它不做要求

使用递归时注意边界处理

原题本是一个森林，我们虚拟出一个0节点，并把它计入到课程的数目中（为了统一情况）
所以最后的结果是f[0][m+1]
代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int n,m;
vector<int>G[301];//邻接表
int w[301];//权值
int f[301][301];
void dfs(int no)//父节点位置
{
 //f[no][1]=w[no];
 for(int i=0;i<G[no].size();i++)
 {
  int v=G[no][i];
  dfs(v);
  for(int j=m+1;j>=2;j--){
   for(int k=j-1;k>=1;k--)
    f[no][j]=max(f[no][j],f[v][k]+f[no][j-k]);
    
   }
  }
 for(int i=1;i<=m+1;i++)//最后的所有结果加上父节点它本身的学分
  f[no][i]+=w[no];
}
int main()
{
 cin>>n>>m;
 int i=0;
 int a,b; 
 while(++i<=n)
 {
  cin>>a>>b;
  G[a].push_back(i);
  w[i]=b;
  }
 dfs(0);
 cout<<f[0][m+1];
 return 0;
}