【bzoj1010】[HNOI2008]玩具装箱toy

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PS：为了证这个决策单调性。。推了我一张纸（蠢得要死，数学真的怀）！！！
n² 做法很容易：

dp[i]=min(dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)²

(20分）
令 f[i]=sum[i]+i,c=1+L;
显然 f[i] 单调递增

∴dp[i]=min(dp[j]+(f[i]−f[j]−c)²

决策单调性证明
对 k>j 且k的决策优于j的决策：

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)²<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)²

那么对于i之后的所有状态t，需证决策k均比决策j优。
令 f[t]=f[i]+x;
只要证：

dp[k]+(f[i]+x−f[k]−c)²<=dp[j]+(f[i]+x−f[j]−c)²

将式子打开：

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)²+2x(f[i]−f[k]−c)+x²<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)²+2x(f[i]−f[k]−c)+x²——①

已知

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)²<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)²——②

∵k>j且f单调递增，所以

2x(f[i]−f[k]−c)<2x(f[i]−f[j]−c)——③

②+③ —>①
即得证。

斜率式

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)²<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)²

dp[k]+f[i]²−2f[i](f[k]+c)+(f[k]+c)²<dp[j]+f[i]²−2f[i](f[k]+c)+(f[k]+c)²

移项可得：

2f[i]>=(dp[k]+(f[k]+c)²)−(dp[j]+(f[j]+c)²)f[k]−f[j]

单调队列维护一个下凸壳。

【代码】

#include 
#include 
#include 
#include 
#define INF 1000000000001
#define mod 1000000007
#define N 300005
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,l,r;
ll f[N],sum[N];
int q[N];

ll SQR(ll x){
    return x*x;
}

double slope(int j,int k){
    return (double)(f[k]-f[j]+SQR(sum[k]+m+1)-SQR(sum[j]+m+1))/(2.0*(sum[k]-sum[j]));
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=i;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(lq[l],q[l+1])<=sum[i]) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+SQR(sum[i]-sum[t]-m-1);
        while(lq[r],i)q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}