最大子矩阵和 （DP + 降维处理）

这个题目是这样的：
一个M*N的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的，输出这个最大的值。

例如：3*3的矩阵：

-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

和最大的子矩阵是：

3 -1
-1 3
1 2

输入

第1行：M和N，中间用空格隔开（2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)

输出

输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。

输入示例

3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

输出示例

7

我想起科幻小说《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”的场景：
“歌者”随手抛下了一张“二向箔”，整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔，塌缩成一个二维平面，三维结构被碾压在二维平面之上。同时，这一降维过程是全息的，所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽，玉石俱焚，其结局黑暗得令人窒息。

我们知道，在线性空间的最大子段和，已有线性时间的DP算法。有没有可能，把二维的最大矩阵和转化为一维的最大子段和呢？

答案是肯定的，算法有着似三体描述的未来武器般的威力

对于一个子矩阵，有四个属性：起始行位置 i , 结束行位置 j, 起始列 x, 结束列 y

我们可以枚举i， j， 然后对后列进行降维压缩

再对降维后的一维数组进行最大子序列和动态规划就行了

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int SIZE = 500 + 10;
int gra[SIZE][SIZE];
ll c[SIZE], dp[SIZE];

int main() {
  //freopen("in.txt", "r", stdin);
  int m, n;
  scanf("%d%d", &m, &n);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < m; ++j) {
      scanf("%d", &gra[i][j]);
    }
  }
  ll ans = -INF;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int j = i; j < n; ++j) {
      //对i到j行矩阵进行降维操作
      for (int k = 0; k < m; ++k) {
        c[k] += gra[j][k];
      }
      //对降维后的c[k]进行最大子序列和的动态规划
      dp[0] = c[0];
      if (ans < dp[0]) { ans = dp[0]; }
      for (int k = 1; k < m; ++k) {
        dp[k] = max(dp[k - 1] + c[k], c[k]);
        if (ans < dp[k]) {ans = dp[k];}
      }
    }
  }
  printf("%lld\n", ans);
  return 0;
}