分治算法练习题 病毒分裂（重庆一中高2018级信息学竞赛测验6） 解题报告

【问题描述】  
  
　　A学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造了，所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 


　　这个病毒被植入了特殊的微型芯片，使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重要的一个性能就是，专家们可以自行设定病毒的分裂能力 K，假如现在有x 个病毒，下一个分裂周期将会有 Kx个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析员，需要统计出在分裂到第N个周期前，一共有多少个病毒单体进行了分裂。一开始时总是只有一个病毒，这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大，专家们只需要你告诉他们对给定的P取模后的答案。
 
    
 【输入格式】  
  
　　一行三个整数，依次是K, N, P。
 
    
 【输出格式】  
   
　　一行一个整数，你的答案（对P取模） 。
 
    
 【输入样例】   
   
【样例1】
　5 3 7


【样例2】
　2 6 23
 
    
 【输出样例】  
   
【样例1】
　6


【样例2】
　8
 
    
 【样例解释】  
   
　　样例一解释：第一个周期有 1 个病毒，产生了一次分裂。第二个周期有 1*5=5 个病毒， 这五个病毒都会分裂。 所以第三个周期前一共进行了1+5等于 6 次分裂。答案即为6 mod 7 = 6。
 
    
 【数据范围】  
   
1 < N < 10^18
1 < K , P < 2^31
 
    
 【来源】  
  

八中命题

做题思路（正解）：根据题意，可推出第N个周期前病毒分裂次数为1(K^0)+K^1+K^2+...+K^(N-2)，所以该题即可转化为求幂的和。要实现求幂的和，最简单的方法当然是直接暴力枚举，但很明显这样做会超时。本题的高效算法为分治算法，首先可以将答案中的1提出来，计算(K^1+K^2+...+K^(N-2))%P，这里就可以用到分治算法的二分，要算ans=(K^1+K^2+...+K^n)%P，可以先算出t=(K^1+K^2+...+K^n/2)%P，如果n为偶数，则ans=(t+t*(K^n/2))%P(即为(K^1+K^2+...+K^n/2+K^(n/2+1)+...+K^n)%P)，如果n为奇数，则ans=(t+t*(K^n/2)+K^n)%P。在计算K的n次方时，同样可以用到二分，先算t=(K^n/2)%P，如果n为偶数，则K^n=(t*t)%P，如果n为奇数，则K^n=(t*t*K)%P。最后，答案即为求出的幂的和加1再对P取模。时间复杂度为O(log2N*log2N)。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL K,N,P;
LL qkpow(LL k,LL n)  //二分快速幂（递归写法）
{
	if(n==1)  return k%P;
	LL t=qkpow(k,n/2);
	LL ans=t*t%P;
	if(n%2==1)  ans=ans*k%P;
	return ans;
	/*LL ans=1,t=k;  //二分快速幂也可以使用二进制写法
	while(n>0)
	{
		if(n&1) ans=(ans*t)%P;
		t=t*t%P;
		n=n>>1;
	}
	return ans;*/
}
LL solve(LL k,LL n)  //二分计算第二周期开始的分裂次数(K^1+K^2+...+K^N-2)%P 
{
	if(n==1)  return k%P;
	LL t=solve(k,n/2);
	if(n%2==0)  
	{
		LL t1=qkpow(k,n/2);
		t=(t+t*t1%P)%P;
	}
	else
	{
		LL t1=qkpow(k,n/2),t2=qkpow(k,n);
		t=(t+t*t1%P+t2)%P;
	}
	return t;
}
int main()
{
	freopen("virus.in","r",stdin);
	freopen("virus.out","w",stdout);
	cin>>K>>N>>P;
	LL ans;
	if(N==2)  ans=1;
	else  ans=solve(K,N-2);
	cout<<(ans+1)%P<<'\n';  //第一周期的分裂次数为1 
	return 0;
}

考后反思：在考试时这道题没有拿到满分，最后发现原因是qkpow和solve函数里带的参数的类型是int，说明检查代码时还是不够仔细，这种错误下次可不能再犯了。