【动态规划练习题】 学生宿舍（重庆一中高2018级信息学竞赛测验10） 解题报告

【问题描述】  
  
　　新的学生宿舍开放了，它由M栋建筑物构成，标号为1到M。开始时，学生宿舍都是空的，很快有N个学生搬进去了。刚好每天搬进去一个。 


　　每次有新同学搬进宿舍，那栋建筑将会举行一个大型的party。party的噪声和该建筑物里的学生的数量相等。宿舍管理员不喜欢噪声，所以他们会不定期的清空某栋建筑物。清空的方法就是把该栋建筑物的学生全部赶到另外的学生宿舍（这M栋宿舍以外的地方）。但是管理员最多只能清空K次。求这n天噪音之和的最小值。 
 
    
 【输入格式】  
  
　　第一行三个整数n，m，k。
　　接下来有n行，每行一个整数bi（1<=bi<=m），表示第i天有一个学生搬进了bi栋宿舍。

【输出格式】  
   
　　一个整数，表示这n天噪音之和的最小值。

【输入样例】   
   
5 1 2
1
1
1
1
1 
 
    
 【输出样例】  
   
7 
 
    
 【样例解释】  
   
　　样例1解释：在第一天和第三天之后执行清空操作。这样每天的噪声为1,1,2,1,2,所以噪声之和为7. 
 
    
 【数据范围】  
   
1<=n<=1000000,1<=m<=100,1<=k<=500
 
    
 【来源】  
  
http://www.cqoi.net:2012/problem.php?id=2916

 

做题思路（错解）：拿到这道题时，首先想到的是动态规划，但在设计状态函数时以为状态函数与前i天有关，设的是f(i,j)表示前i天清空j次所得的噪音和的最小值，于是卡在了推导状态转移方程上。

解题思路（正解）：根据题意，因为要求噪音和的最小值，自然想到使用动态规划算法，根据数据范围的提示，如果按照之前的想法设状态函数会超内存，所以设f(i,j)表示前i栋宿舍清空j次所得的噪音和的最小值，分析第i栋宿舍时，该宿舍可以清空0次，可以清空1次，……最多可以清空j次，所以f(i,j)=min{f(i-1,j-k) | 0<=k<=j}+g[i][k]，g[i][k]表示第i栋宿舍清空k次所得的噪音和的最小值，边界即为f(0,j)=0。

现在的主要问题是，如何计算g[i][k]？因为要使得第i栋宿舍清空k次后所得的噪音和最小，所以应将第i栋宿舍所进入的学生数平均地分为k+1份（注意不是k份），此时求得的噪音和即为最小，在计算噪音和时，并不用循环计算，很明显这就是一个等差数列求和的问题，先计算出学生数分为k+1份后的值t（即宿舍清空之前的人数）和学生数分为k+1等份后多余的人数tt（多余的人就依次分进每次清空前的宿舍），则g[i][k]=(1+2+...+t)*(k+1)+(t+1)*tt。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=1000005;
const long long inf=1000000000010ll;
typedef long long LL;
int N,M,K;
int b[maxn],a[105];
LL g[105][505];  //g[i][k]表示第i栋宿舍清空k次所得的噪音和的最小值
/*
f(i,j)表示前i个宿舍清空j次所得的噪音和的最小值
f(i,j)=min{f(i-1,j-k)+g[i][k] | 0<=k<=j} 
边界：f(0,j)=0 
*/
LL d[105][505];
int read_()  //手工输入，节省时间
{
	char s;
	s=getchar();
	while(s<'0' || s>'9')  s=getchar();
	int x=0;
	while(s>='0' && s<='9')  
	{
		x=x*10+s-'0';
		s=getchar();
	}
	return x;
}
void solve()
{
	for(int i=0;i<=M;i++)
	for(int j=0;j<=K;j++)
	d[i][j]=inf;
	for(int j=0;j<=K;j++)
	d[0][j]=0;
	for(int i=1;i<=M;i++)
	for(int j=0;j<=K;j++)
	{
		LL t=inf;
		for(int k=0;k<=j;k++)
		t=min(t,d[i-1][j-k]+g[i][k]);
		d[i][j]=t;
	}
	cout<