第七节-Matlab符号计算
02-符号运算计算函数微积分
% 第七节-Matlab符号计算
% 02-符号运算计算函数微积分
% 符号函数的极限.
% 符号函数的导数
% 符号函数的积分
% 符号函数的极限
% 求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为
% limit(f,x,a)
% f:所求极限的函数 x为变量 a为常数
% 即求函数【f】关于变量x在【a点的极限】。若x省略，则采用系统默认的自变量。a的默认值为0.
% limit函数的另- -种功能是求 单边极限，其调用格式为:
% limit（f,x,a,'right') %右极限
% limit(f,x,a,left') %左极限
%eg 求 lim(x->a) (x)^1/m -(a)^1/m /(x-a) (2)lim(x->oo)(1+1/n)^n
syms a m x n
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
limit(f,x,a) % 求x自变量趋向于a的时候，f(x）的值
g=(1+1/n)^n;
limit(g,n,inf) %n->oo 的时候 g(n)=e
% 符号函数的导数
% MATLAB中的求导函数为:
% dif(f.x,n)
% 即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数
% limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1,求n阶导。
% x 表示自己定义的主变量，在有多个自变量时，需要确定一个自变量，这样就相当于
% 求得是关于自变量x的偏导数
% eg 求 y=(a+e^x)^1/2,求y'
syms x y ;
f=sqrt(1+exp(x))
diff(f) % 没有 指定的情况下 ，系统会默认一个自变量，还有一个求解导数n=1，默认一阶导数
% eg z=x*e^y/y^2 求 zx' zy'
z=x*exp(y)/y^2
diff(z,x) %求解函数 z,关于x的一阶偏导数
diff(z,y) %求解函数 z,关于y的一阶偏导数
% 符号函数的积分
% (1)不定积分
% 在MATLAB中，求不定积分的函数是int,其常用的调用格
% 式为:
% intlf,x)
% 表示：求函数f对【变量x】的不定积分。 （注：是变量X,其他变量（如;y,z）当作常量处理）
% eg：求下列不定积分
% fx=(3-x^2)^3
syms x t
f=(3-x^2)^3
int(f) %表示对函数f进行积分,系统自动默认给定自变量x,(注：f函数中只有一个变量x)
% g(x,t)=5*x*t/(1+x^2)d(t) 对自变量 t 求积分
g=5*x*t/(1+x^2)
int(g,t) %对自变量 t 求积分,这里要指定自变量（t）,因为g函数有两个自变量【x，t】
%(2)【定积分】
% 在MATLAB中，定积分的计算也使用int命令，但调用格式有区别:
% intlf,x,a,b)
% 其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。【注：a,b可以是具体的值，也可以是一个数值符号】
% 当函数关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。
% 当a、b中有一个是【inf：无穷】时， 函数返回一个广义积分。
% 当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
% 求定积分
% |1-x|d(x) x=[1，2]
syms x t
int(abs(1-x),1,2) %求函数 x=[1，2]的积分
% 1/（1+x^2）d(x) x=[-oo,+oo]
int(1/(1+x^2),-inf,+inf) %求函数 x=[-oo,+oo]的积分
% 4x/t d(x) x=[2,sin x]
int(4*x/t,t,2,sin(x)) %指定对自变量t求积分，t=[2,sin(x)]
%计算出来的是一个自变量的结果函数
% 实际应用
% 河道水流量的估算问题
% 根据实际测量，得到河流某处宽600m，其横截面不同位置某一
% 时刻的水深如下表所示:
xi=0:50:600 ;
yi=[4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9, 5.1 ...
,5.4 ,5.2 ,5.5 ,5.2 ,4.9 ,4.8 ,4.7] ;
% ①若此刻水流的流速为0.6m/s，试估计该河流此刻的流量。
% ②已知x方向[50,60]区间为坡式护岸的下部护脚部分，根据相关
% 堤防设计规范，抛石护岸护脚坡度应缓于1:1.5 ( tan(x)正切值) ,请
% 估计水流冲刷是否已破坏该区域的护脚。
% 分析:
% (1)先拟合出河床曲线，然后进行定积分，计算出河流横截面，即
% 可估计流量。
xi
yi
p=polyfit(xi,yi,3)
plot(xi,yi,'o',xi,polyval(p,xi),'r') %曲线拟合得到曲线图形（即河床轮廓）
syms y x
y=poly2sym(p,x) %拟合曲线的多项式转化为符号表达式
S=int(y,x,0,600) %计算横截面积
v=S*0.6 %计算水流量
eval(v)
% (2)根据河床曲线，计算其导函数，并判断相应范围内导函数的取
% 值是否大于1:1.5。
yn=-yi; % 实际河床轮廓形状，水平面是平的
figure(2)
p=polyfit(xi,yn,3)
plot(xi,yn,'o',xi,polyval(p,xi)) %曲线拟合得到曲线图形（即河床轮廓）
syms y x yii
y=poly2sym(p,x) %拟合曲线的多项式转化为符号表达式
yii=diff(y,x) %对曲线进行求导
x=50:60;
k=eval(yii) %对[50,60]求导后的数据进行计算导数（也就是斜率）
all(abs(k)<1/1.5) %判断斜率是否小于1/1.5
%
x=50:60;
y=polyval(p,x); %计算函数【50，60】的值
k=diff(y)/1 %计算数值导数
all(abs(k)<1/1.5) %判断斜率时候满足条件
