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初识区间dp（石子合并 + 四边形不等式优化 + 环形）

关于石子合并，第一次学习，加上上午的复习回顾，突然感觉dp有点思路了

石子合并（线性合并相邻石子）

#include
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#include
#include
#include
#include

using namespace std;
int main()
{
    int n = 0;
    int sum[205] = {0};
    int a[205];
    int dp[205][205];
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));//初始化为最大值，相当于0x3f3f3f3f
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        dp[i][i] = 0;
        sum[i] += sum[i - 1] + a[i];
    }
    for(int len = 2; len <= n; len ++)//控制合并区间的长度
        for(int i = 1, j = len; j <= n; i ++, j ++)//依次遍历每个长度下的所有相邻区间[i, j]
            for(int k = i; k < j; k ++)//遍历区间断点寻找最优解
        {
            if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1])
                dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1];
        }
    printf("%d\n",dp[1][n]);//最终合并区间[1, n]
    return 0;
}

这道题这样做时间复杂度为O(n^3),但是加上四边形不等式优化之后会快很多，变成O(n^2)，证明不会，

看这篇博客：  四边形不等式优化

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#include

using namespace std;
int main()
{
    int n;
    int sum[205];
    int a[205];
    int dp[205][205];
    int s[205][205];
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));//初始化为最大值，相当于0x3f3f3f3f
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        dp[i][i] = 0;
        s[i][i] = i;
        sum[i] += sum[i - 1] + a[i];
    }
    for(int len = 1; len < n; len ++)//控制合并区间的长度
        for(int i = 1; i + len <= n;i ++)//控制起点处位置为i
        {
            int end = i + len;//终点位置为end
            int k = 0;
            for(int j = s[i][end-1]; j <= s[i + 1][end]; j ++) //其中j为断点，遍历所有可能的断点j，但s[][]位置已经被保存下来，所以速度会快
            if(dp[i][end] > dp[i][j] + dp[j + 1][end] + sum[end] - sum[i - 1]){
                dp[i][end] = dp[i][j] + dp[j + 1][end] + sum[end] - sum[i - 1];
                k = j;
            }
            s[i][end] = k;//k为最优解被保存下来
        }
    printf("%d\n",dp[1][n]);//最终合并区间[1, n]
    return 0;
}

上面的明白了环形的就好说了，把1 - （n-1）再加一段在原序列后面，就能实现环状模拟

#include
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#include
#include
#include
#include

using namespace std;
int n;
int sum[405] = {0};
int a[405];
int dp[405][405];
int s[405][405];
#define inf 0x3f3f3f3f
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));//初始化为最大值，相当于0x3f3f3f3f
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        dp[i][i] = 0;
        s[i][i] = i;
        sum[i] += sum[i - 1] + a[i];
    }
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        dp[i + n][i + n] = 0;
        s[i + n][i + n] = i + n;
        sum[i + n] += sum[i + n - 1] + a[i];
    }
    for(int len = 1; len < n; len ++)//控制合并区间的长度
        for(int i = 1; i + len <= 2 * n - 1;i ++)//控制起点处位置为i
        {
            int end = i + len;//终点位置为end
            int k = 0;
            for(int j = s[i][end-1]; j <= s[i + 1][end]; j ++) //其中j为断点，遍历所有可能的断点j，但s[][]位置已经被保存下来，所以速度会快
            if(dp[i][end] > dp[i][j] + dp[j + 1][end] + sum[end] - sum[i - 1]){
                dp[i][end] = dp[i][j] + dp[j + 1][end] + sum[end] - sum[i - 1];
                k = j;
            }
            s[i][end] = k;//k为最优解被保存下来
        }
    int miny = inf;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        miny = min(miny, dp[i][i + n - 1]);
    printf("%d\n",miny);//最终合并区间[1, n]
    return 0;
}

 

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