树上差分

树上差分建立在差分数组的基础上，所以还不会差分数组的大佬可以先预习一下这篇博客，期望阅读时间5分钟：差分数组。

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引入这样一个例题，给定一棵n(n≤10⁵)个点的树，m(m≤10⁵)次操作，将这棵树上的两点之间的最短路径上的每一个点都加k或者都减k，在这m次操作之后求出每个点的值。

首先，在你没有学过树上差分的时候，你会想到用倍增或者是塔尖求出这两个点的LCA然后暴力更改，显然这样每一次操作时间复杂度最劣会是O(n)，显然不能接受。

那么我们现在引入树上差分。

树上差分我们可以先感性的理解为树上的差分数组。

树上差分分为两种，一种是边的差分，另一种是点的差分。

那么今天我们就先来讲一下点的差分。

大家现在一定会想像差分数组从前往后扫一样从根往下扫，每个点存它与它的父亲的差，但是认真想一下，这样会存在一个问题，如果我将一条路径上每个点的值都增加k，那么这条路径上的其它枝杈都要打标记减去k。

如图：

这样当路径上的枝杈过多时，时间复杂度会非常不优。

那么应该怎么办呢？我们思考一下刚开始学OI的时候学到的递归思想来解决这个问题。

那么现在我们定义一个节点u的差分数组B[u]表示它与它所有儿子的加和的差，那么问题就变得简单多，我们只需要在最后统计答案的时候递归处理即可。

那么相比很多人有些疑惑，我们应该怎么做修改呢？

还是那个问题，现在我们要将两个点的最短路径上的点都加k或者减k，暂且设这两个点为u，v。

那么我们还需要再定义两个点，u和v的LCA为lca（倍增或塔尖求出），lca的直接父亲为father。

那么我们在更改的时候只需要做如下操作：

　　B[u]+=k;

　　B[v]+=k;

　　B[lca]-=k;

　　B[father]-=k;

那么为什么这么做是正确的呢？

我们可以认为我们在给u节点的差分数组+k的时候也就相当与将u到根的所有节点都加了k，给v节点的修改同理。

那么我们需要将多更改的部分减去，多更改的部分也就是lca多更改了一次，从father到跟节点多更改了两次，所以我们在将B[lca]-=k,B[father]-=k同时就相当于是做了这个操作（B[lca]-=k相当与减掉了lca多更改的那一次和father到跟节点多更改的一次，B[father]-=k相当于是剪掉了father到跟节点多更改的剩下的那一次，叠加即为减去了多更改的部分）。

当所有的操作都完成后只需要DFS递归统计答案即可。

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如果你觉得你已经学会了树上差分，那么可以跳转这道例题（博客还没有写出来额）

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rp++

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