ACM博弈-I 平等博弈 SG函数的证明

文章目录

  • 博弈论
    • 一. 参考文档
    • 二. 适用范围
      • 1. 举例子
      • 2. 判定是ICG
    • 三一些术语
      • 1 状态
      • 2 游戏
    • 四 Nim 游戏
      • 游戏描述:
      • 策略
      • 证明
    • 五 SG函数和SG定理
      • 1 The Sprague-Grundy Function.
      • 2 The Sprague-Grundy Theorem
    • 六 常见博弈
      • (1)Nim 博弈
      • (2)反Nim 博弈
      • (3)Moore’s Nimk
      • (4)威佐夫博弈
      • (5) 阶梯博弈
    • 七 例题

博弈论

ACM博弈-II不平等博弈

先修: nim博弈
本文介绍:ICG游戏的定义,常用术语,Nim 博弈的证明,SG函数的证明,应用

一. 参考文档

  1. 论文Game Threory https://pan.baidu.com/s/11P_rF5ZO-FuTPiNtjxcBlw
  2. 论文翻译 https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432

二. 适用范围

适用于 Impartial Combinatorial Games
游戏的胜负仅仅取决于当前状态, 与谁在玩没关系,即如果A在某个状态必赢,那么B在这个状态也必赢

1. 举例子

  1. 取石子博弈 : 只与当前的状态有关,谁在必胜态,谁就赢
  2. 非ICG,象棋,棋盘上相同的状态(所有的棋子的摆放地点都相同),但是下象棋的人控制的棋子不一样
    在论文中提出了六条判定是ICG的准则

2. 判定是ICG

  1. 两个人
  2. 当前状态的下一个状态的个数是有限的
  3. 对于每一个状态,两个人的能够做的操作的集合是相同的
  4. 交替移动
  5. 一个人不能移动,就判定为输
  6. 游戏会在有限步内终止

三一些术语

1 状态

必胜态: 当前将要移动的人必胜的状态
必输态: 当前将要移动的人必输的状态
结束态: 即当前人不能移动,是必败态
它们有以下关系:
也称为 特性:

  • 每一个必胜态的能够转移的状态里面必定有一个必输态
  • 每一比必败态的能够转移的状态里面必定都是必胜态
  • 每一个结束态都是必败态

2 游戏

  1. 减法游戏
    现在有一堆石子,Alice和Bob玩游戏,轮流取石子,每次可以取走 a 1 , a 2 , . . . a n a_1,a_2,...a_n a1,a2,...an个石子,最后不能取的人输。
    做法: 从0 开始递推必败态和必胜态
    论文中还给出了其它有趣的游戏,可以自己去看

四 Nim 游戏

游戏描述:

有N堆石子 a 0 , a 1 . . . a n a_0,a_1...a_n a0,a1...an。A B两个人轮流拿,A先拿。每次只能从一堆中取若干个,可将一堆全取走,但不可不取,拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明,拿石子的过程中不会出现失误。给出N及每堆石子的数量,问最后谁能赢得比赛。
例如:3堆石子,每堆1颗。A拿1颗,B拿1颗,此时还剩1堆,所以A可以拿到最后1颗石子

策略

所有石子的异或和为Nim_sum

  1. 如果NIm_sum = 0 ,那么先手必输,即必败态
  2. 如果Nim_sum != 0,那么先手必赢,即必胜态

证明

  1. ( 0 , 0 , 0 , 0 , . . . ) (0,0,0,0,...) (0,0,0,0,...) 是结束态,也是必败态, N i m s u m = 0 Nimsum = 0 Nimsum=0

  2. 所有的比胜态的下面状态必定有一个是必输态
    即 Nim_sum != 0,令 2 k < = N i m s u m < 2 k + 1 2^k <= Nimsum < 2^{k+1} 2k<=Nimsum<2k+1,那么必定有一个堆在二进制表示的第k+1位为1,假设 a i a_i ai,于是我们有 a i ⊕ N i m s u m < a i a_i \oplus Nimsum < a_i aiNimsum<ai ,从中取出 a i − a i ⊕ N i m s u m a_i-a_i \oplus Nimsum aiaiNimsum个石子,使得 a 0 ⊕ a 1 ⊕ . . . a i ′ . . . ⊕ a n = 0 a_0 \oplus a_1\oplus...a_i'...\oplus a_n = 0 a0a1...ai...an=0

  3. 所有的必败态(除了终止态)的下面所有状态都是必胜态,Nim_sum = 0,
    反证法:我们选择任意一个堆取任意石子剩下 a i ′ a_i' ai 个石子, a 1 ⊕ a 2 . . . a i ′ . . . ⊕ a n = a 1 ⊕ a 2 . . . a i . . . ⊕ a n a_1 \oplus a_2 ... a_i'... \oplus a_n = a_1 \oplus a_2 ... a_i... \oplus a_n a1a2...ai...an=a1a2...ai...an,必有 a i = a i ′ a_i = a_i' ai=ai,不移动任何石子这种情况是不被允许的,Nim_sum = 0的下一个状态必定是Nim_sum != 0

五 SG函数和SG定理

1 The Sprague-Grundy Function.

  1. 定义 g ( x ) = m i n { n ≥ 0 : n = g ( y ) y ∈ F ( x ) } . ( 1 ) g(x) = min{\{n ≥ 0 : n = g(y) \quad y ∈ F(x)\}}. (1) g(x)=min{n0:n=g(y)yF(x)}.(1)
    其中g(x)表示x这个状态的SG函数值,F(x) 代表x所有的下一个状态的集合
  2. 我们定义一个minimal excludant(mex)函数代表不再一个集合里面的最小非负整数,上面的公式可以改写为
    g ( x ) = m e x { g ( y ) : y ∈ F ( x ) } . ( 2 ) g(x) = mex\{g(y) : y ∈ F(x)\}. (2) g(x)=mex{g(y):yF(x)}.(2)
  3. 对于终止态,g(x) = 0,因为F(x) 为空, 其他都可以通过这个公式来求
    满足特性:
    (1)如果是终止态,那么 g ( x ) = 0 ; g(x) = 0; g(x)=0;
    (2) 每一比必败态的能够转移的状态里面必定都是必胜态,即如果g(x) = 0,那么他所有的子状态的 g ( y ) ! = 0 g(y) != 0 g(y)!=0,如果有g(y) = 0,那么g(x) 的值就不会为0了
    (3) 每一个必胜态的能够转移的状态里面必定有一个必输态,如果g(x) != 0,那么肯定有一个子状态 g ( y ) = 0 g(y) = 0 g(y)=0,如果没有g(y) = 0,那么g(x) 就不会为非0了
    SG函数值的意义,如果g(x) = 0,那么x是必败态,如果g(x) != 0,那么x是必胜态

2 The Sprague-Grundy Theorem

如果可以将游戏拆成n个不相关的子游戏,在每一步中你可以选择在一个子游戏中操作,那么有 g ( x 1 , x 2 . . . x n ) = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) ⊕ . . . . ⊕ g n ( x n ) g(x_1,x_2...x_n) = g_1(x_1) \oplus g_2(x_2) \oplus ....\oplus g_n(x_n) g(x1,x2...xn)=g1(x1)g2(x2)....gn(xn)
证明如下:
x = ( x 1 , x 2 . . . x n ) x = (x_1,x_2...x_n) x=(x1,x2...xn)(向量表示状态)x的子状态 x ′ = ( x 1 , x 2 , x i ′ , . . . x n ) i ∈ { 1 , . . n } x'= (x_1,x_2, x_i',...x_n)\quad i \in \{1,..n\} x=(x1,x2,xi,...xn)i{1,..n}
b = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ g n ( x n ) \quad b = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···⊕g_n(x_n) b=g1(x1)g2(x2)gn(xn)
证明以下两条:
初始条件 :
0 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0... ⊕ 0 0 = 0 \oplus 0 \oplus 0 ... \oplus 0 0=000...0,所有的子游戏都结束的时候游戏就结束了,此时为必败态,g(x) = 0

(1) 对于所有 非负整数a < b,必定有一个状态 x ′ 使 得 g ( x ′ ) = a i ∈ { 1 , . . n } x' 使得 g(x')= a \quad i \in \{1,..n\} x使g(x)=ai{1,..n}
(2) 没有一个x的子状态 x ′ x' x使得 g ( x ′ ) = b g(x') = b g(x)=b

(1) : 令 d = a ⊕ b d = a \oplus b d=ab,令 2 k < = d < 2 k + 1 2^k <= d < 2^{k+1} 2k<=d<2k+1,我们有a在第k+1位为0,b在第k+1位为1,那么必定有一个 g i ( x i ) g_i(x_i) gi(xi)在二进制表示的第k+1位为1, g i ( x i ) ⊕ d < g i ( x i ) g_i(x_i) \oplus d < g_i(x_i) gi(xi)d<gi(xi),所以必定有 g i ( x i ′ ) = d ⊕ g i ( x i ) g_i(x_i') = d \oplus g_i(x_i) gi(xi)=dgi(xi), a = b ⊕ d = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ g n ( x n ) ⊕ d = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ g i ( x i ′ ) . . . ⊕ g n ( x n ) a = b\oplus d = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···⊕g_n(x_n) \oplus d = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···\oplus g_i(x_i') .. .⊕g_n(x_n) a=bd=g1(x1)g2(x2)gn(xn)d=g1(x1)g2(x2)gi(xi)...gn(xn)
即存在 x’ 使得 g(x’) = a
(2): b = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) . . . g i ( x i ) . . . ⊕ g n ( x n ) b = \quad g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)...g_i(x_i)...⊕g_n(x_n) b=g1(x1)g2(x2)...gi(xi)...gn(xn) , a = g 1 ( x 1 ) ⊕ g 2 ( x 2 ) . . g i ( x i ′ ) ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ g n ( x n ) a = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2).. g_i(x_i')···⊕g_n(x_n) a=g1(x1)g2(x2)..gi(xi)gn(xn)
a = b,则必有 g i ( x i ) = g i ( x i ′ ) g_i(x_i) = g_i(x_i') gi(xi)=gi(xi) ,即不做改动,这是不被允许的

于是问题得证

六 常见博弈

(1)Nim 博弈

题意:两个人玩取石子游戏,共有N堆石子,每个人每次可以从一堆石子里面任意多个石子,不能取的人输
题解: 求所有堆石子数的异或和,异或和为零先手必输,异或和不为零,先手必败
发散思维: HDU1850,题目同上,不过这次询问的是先手必胜的情况下有多少种选择?
解析: 本题告诉我们不能光记住公式,还要记住公式的推导过程,在Nim的证明中,我们选取在sumxor 最高位处有1的作证明一定存在a[i]^sumxor = a[i]< a[i],然后取出a[i] - a[i]个石子,本题就是计算sumxor ^a[i] < a[i] 的个数

(2)反Nim 博弈

题意: 题目同上,最后一个取的人输
解析: 必胜态 1. 如果所有的石子堆的个数都为1,sumxor 为偶数
2. 如果有一个不为1,那么sumxor 不为 0

(3)Moore’s Nimk

题意:两个人玩取石子游戏,共有N堆石子,每个人每次可以从k堆石子里面任意多个石子,不能取的人输
题解: 把n堆石子的石子数用二进制表示,统计每个二进制位上1的个数,若每一位上1的个数mod(k+1)全部为0,则必败,否则必胜。

(4)威佐夫博弈

题意:两个人玩取石子游戏,共有2堆石子,每个人可以选择从一堆石子里面取石子,也可以选择从两堆石子里面取相同数量的石子
结论: 第k个必败态 (a,a+k) a = (1+sqrt(5))/2*k,怎么判断当前是不是必败态呢,做差求出k然后判断就行了
核心代码:

    int a,b;
   while(cin>>a>>b){
   	if(a > b)  swap(a,b);
   	int   c = floor((b-a)*((1.0+sqrt(5.0))/2.0));
   	if(a == c)  cout<<0<<endl;
   	else        cout<<1<<endl;
   }

(5) 阶梯博弈

题意: 共有n阶台阶,每个台阶上有a_i个石子,地面表示第0号阶梯。每次都可以将一个阶梯上的石子向其左侧移动任意个石子,没有可以移动的空间时(及所有石子都位于地面时)输。
结论: 必败态是全部的石子都在地面上,胜负只与奇数台阶上的石子数有关,是它们石子数的异或和,同Nim博弈一样,如果异或和不为零,先手必胜,否则先手必败
简单证明: 考虑奇数Nim_sum != 0,那么你一定可以找到一种方法,使得奇数台阶的异或和为零,必败态也是异或和为零。 如果Nim_sum == 0,无论你怎么移动奇数的棋子,都不可能使得Nim_sum 为零,如果你移动偶数台阶的棋子,你的对手可以将你移动的棋子再移到奇数台阶上,Nim_sum 依旧为零.
例题:HDU - 3389

七 例题

  1. Euclid’s Game HDU - 1525
    • 如果A
    • 如果 A%B == 0,那么先手必胜
    • 如果 A >= 2B ,考虑下一个状态,如果 (A%B,B) 是必败态,就转移到这个状态,否则转移到 (A%B+B,B)
    • B< A< 2B,只能转移到(A-B,B) 取决于(A-B,B) 的状态
  2. HDU - 1525
    找规律就行了
  3. A Multiplication Game HDU - 1517
    利用SG函数打表找规律
const int maxn  = 100000;
int dp[maxn];
int main(void)
{
   // cout< se;
   //    for(int j = 2;j < 10&&j <= i; ++j)
   //      {
   //       // if(i == 10)
   //       //    cout<>n){
      while(n >= 18) n = (n-1)/18+1;
      if(n < 2||n > 9) puts("Ollie wins.");
      else      puts("Stan wins.");
   }
   return 0;
}


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