hdu-4549(矩阵快速幂+欧拉定理)

问题描述:

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： 

F[0] = a 
F[1] = b 
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据； 
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

题目题意:题目给我们一个n让我们求出一个新的斐波拉契数列的f(n) % 1e9+7.

题目分析:这个题目虽然与原来的斐波拉契数列样子不一样，但是实质是一样的，对于a,b来说它们的指数符合斐波拉契数列的规则f(n)=f(n-1)+f(n-2),只是需要注意的是它们的f(0)与f(1)的值不一样，我们用矩阵快速幂快速的跑出a与b的指数，剩下的就是计算a^(x1) %c与b^(x2) %c

这个地方我TLE好多发，发现这个地方才是这道题目的难点。

我们对于A^B %C 来说

我最开始的想法就是:

对于A^x % mod 的式子，我们有如下的展开式：

A^x % mod=A^(x%phi[mod]+phi[mod])%mod (当且仅当x>=phi[mod]时成立) (在我之前的博客里面，我利用过该公式)

但是这个地方不行，因为mod 非常大，没有什么作用)

下面我们要利用欧拉定理来解决:在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

对于A^B %C 来说,我们令x*phi[C]+y=B,则等于A^(x*phi[C]+y) %C

A^(x*phi[C]+y) %C=A^(x*phi[C])%C  *  A^(y) %C =(A^(phi[C]) %C)^x *A^(y) %C  发现没有，前面的式子就是欧拉定理表达式等于1

则原始式子等于A^(y) %C  因为C为素数则phi[C]=C-1，则y=B%(phi[C])=B%(C-1);

即:A^B %C =A^(B%(C-1)) %C

代码如下:

#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;

const int mod=1e9+7;
int a,b,n;

struct matrix//构建矩阵
{
    ll f[3][3];
    matrix operator *(const matrix &a) const {
        matrix res;
        for (int i=1;i<=2;i++) {
            for (int j=1;j<=2;j++) {
                res.f[i][j]=0;
                for (int k=1;k<=2;k++)
                    res.f[i][j]=(res.f[i][j]+(*this).f[i][k]*a.f[k][j]);
                res.f[i][j]=res.f[i][j]%(mod-1);
            }
        }
        return res;
    }
}ppow;

void init()//常数矩阵
{
    ppow.f[1][1]=ppow.f[1][2]=1;
    ppow.f[2][1]=1;
}

matrix fast_pow1(matrix base,int k)//快速幂 矩阵
{
    matrix ans=base;
    while (k) {
        if (k&1)
            ans=ans*base;
        base=base*base;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

ll fast_pow2(ll base,ll k)//快速幂 数
{
    ll ans=1;
    base=base%mod;
    while (k) {
        if (k&1)
            ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    init();
    while (scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF) {
        if (n==0) { printf("%d\n",a%mod); continue;}
        if (n==1) { printf("%d\n",b%mod); continue;}
        n-=2;
        ll sum=1;
        struct matrix cur;
        cur=ppow;
        cur=fast_pow1(cur,n);
        sum=fast_pow2(a,cur.f[1][2])%mod;//a 和 b的指数保存的位置不一样 注意
        sum=sum*fast_pow2(b,cur.f[1][1])%mod;
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}