【洛谷P2602】【数字计数】【来自小zhu的奥数计数方法】

题目描述

给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

输入格式

输入文件中仅包含一行两个整数a、b，含义如上所述。

输出格式

输出文件中包含一行10个整数，分别表示0-9在[a,b]中出现了多少次。

输入样例

1 99

输出样例

9 20 20 20 20 20 20 20 20 20
分析：
小zhu教给我的计数方法：例如213中有多少个1

个位1的个数：$t1=213/10=21,t2=213\%10=3$，$t1$ 为从 0 到 $t1-1$ 每个数后面都可以加一个 1，而 $t2=3>=1$ 所以 $t1$ 后也可以加1，因为 $t2>=(1+1)$ 所以 $t2$ 后面可以加 $1\times 1$ 个 1，所以个位有 $21+1=22$ 个 1。

十位1的个数：$t1=213/100=2,t2=213\%100=13$，$t1$ 为从 0 到 $t1-1$ 每个数后面都可以加一个 1–是十位，那么个位又有 0-9 的选择，所以此时加的是 $t1\times 10$， $t2=13>=1\times 10$ 所以 $t1$ 后面可以加 1，但是可以加多少个 1 呢，因为 $t2=13<(1+1)\times 10$，所以 $t1$ 后面不能加 $1\times 10$ 个 1，只能加 $t2-1\times 10+1=4$ 个 1（这里加 1 是因为从 0-3），所以十位有 $t1\times 10+4=24$ 个 1。

百位1的个数：$t1=213/1000=0,t2=213\%1000=213$，$t1$ 为从 0 到 $t1-1$ 每个数后面都可以加一个 1–是百位，那么十位和个位又有 100 种选择，所以此时加的是 $t1\times 100$，$t2=213>=1\times 100$ 所以 $t1$ 后面可以加 1，加多少个 1 呢，因为 $t2=213>=(1+1)\times 100$，所以 $t1$ 后面可以加 $1\times 100$ 个1，所以百位有 $t1\times 100+1\times 100=100$ 个 1。

213中共有$22+24+100=146$个1。

关于2-9的计数和1的类似，需要注意的是0的计数，

1. 首位不能为0
2. 上面计数1的时候，$t1$为从0到$t1-1$每个数后面都可以加1，但是对于计数0来说，0的后面再加0就重复了，所以对于计数0，$t1$代表的是从1到$t1-1$每个数后面都可以加1，所以这里加和的时候要注意$t1-1$。对于利用$t2$来判断可以加多少个0是同样的。

AC代码

#include
#define LL long long
using namespace std;
LL a, b, ans;
LL solve(LL x, int i) {
	LL cnt = 0, c = 10, t1, t2; 
	if(i == 0) {
		while(1){
			t1 = x / c;
			t2 = x % c;
			if(t1 == 0)
				break;
			cnt += (t1 - 1) * c / 10;
			if(t2 >= c / 10)
				cnt += c / 10;
			else 
				cnt += t2 + 1; 	
			c = c * 10;
		}
	}
	else {
		do {
			t1 = x / c;
			t2 = x % c;
			cnt += t1 * c/10;
			if(t2 >= (i + 1) * c / 10)
				cnt += c/10;
			else if(t2 >= i * c / 10)
				cnt += t2 - i * c / 10 + 1;
			c = c * 10; 
		}while(t1 > 0);
	}
	return cnt;
}
int main()
{
	char in[100];
	cin >> a >> b;
	for(int i = 0; i < 10; ++i) {
		ans = solve(b, i) - solve(a - 1, i); 
		if(i == 0)
			cout << ans;
		else 
			cout << " " << ans;
	}
	cout << endl;
	return 0;
}