洛谷P1040 加分二叉树(树形dp)

洛谷P1040 加分二叉树(树形dp)

加分二叉树

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题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(l,2,3,...,n),其中数字1,2,3,...,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第j个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下:

    subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分+subtree的根的分数

    若某个子树为主,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,...,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出:
    (1)tree的最高加分
    (2)tree的前序遍历
 

输入

第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。
第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。
 

输出

第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。
第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。
 

样例输入

5
5 7 1 2 10

样例输出

145
3 1 2 4 5

提示

 

来源

提高组-2003年NOIP 

题目类型:

树形dp

思路:

首先,我们要做的就是设计状态,其实就是设计dp数组的含义,它要满足无后效性。关注这个 左子树*右子树+根 我只要知道左子树分数和右子树分数和根的分数(已给出),不就可以了吗?管他子树长什么样!
所以,我们f数组存的就是最大分数,怎么存呢?
我们发现:子树是一个或多个节点的集合。
那么我们可不可以开一个f[i][j],f[i][j]来表示节点i到节点j成树的最大加分呢?可以先保留这个想法(毕竟暂时也想不到更好的了)。

如果这样话,我们就来设计状态转移方程。按照刚刚的设计来说的话,我们的答案就是f[1][n]了,那么我们可以从小的子树开始,也就是len,区间长度。有了区间长度我们就要枚举区间起点,i为区间起点,然后就可以算出区间终点j。通过加分二叉树的式子我们可以知道,二叉树的分取决于谁是根,于是我们就在区间内枚举根k。

特别的,f[i][i]=a[i]f[i][i]=a[i],其中a[i]为第i个节点的分数。

因为是要求最大值,所以我们就可以设计出f[i][j]=MAX(f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])f[i][j]=MAX(f[i][k−1]*f[k+1][j]+f[k][k])于是乎,我们就自己设计出了一个dp过程,因为是顺着来的,所以很少有不成立的。

至于输出前序遍历,我们再设计一个状态root[i][j]来表示节点i到节点j成树的最大加分所选的根节点。所以我们按照$根->左->右$的顺序递归输出即可。

 

#include
using namespace std;
const int MAXN = 50;
typedef long long ll;
ll n;
//f[i][j]表示i到j子树的最大分数 
ll f[MAXN][MAXN],root[MAXN][MAXN]; 
void print(ll l, ll r) {
    if (l > r)return;
    cout<" ";//打印根 
    if (l == r)return;
    print(l, root[l][r] - 1);//打印左子树 
    print(root[l][r]+1,r);//打印右子树 
}
int main()
{
    cin>>n;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>f[i][i];
        root[i][i]=i;        
    }
    for(int len=1;len//以子树的长度遍历,1个节点的子树,2个节点的子树。。。 
    {
        for(int i=1;i+len<=n;i++)
        {
            int j=i+len;
            //根从i开始遍历,先假设i到j的子树,i为根 
            //不考虑它的空子树,所以左子树为空时,左子树为1,而不是0 
            //f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][i];//此时i到j子树的分数
            //root[i][j]=i;
            //cout<
            for(int k=i;k//k为根,遍历每一个根,找到能使子树分数最大的根 
            {
                 
                ll zhi = f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
                //不考虑它的空子树,所以左子树为空时,左子树为1,而不是0
                //以右子树为空时,右子树为1,而不是0
                if(f[i][k-1]==0)
                {
                    zhi=f[k+1][j]+f[k][k];
                }
                if(f[k+1][j]==0)
                {
                    zhi=f[i][k-1]+f[k][k];
                }                
                if(f[i][j]<zhi)
                {
                    f[i][j]=zhi;
                    root[i][j]=k;
                    //cout<
                }
            }
        }
    }
    cout<1][n]<<endl;
    print(1, n);
    return 0;
} 

 

 

 

posted on 2019-04-26 23:19 蔡军帅_ACM 阅读( ...) 评论( ...) 编辑 收藏

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