二分图最大匹配——找老婆问题（确信）

定义

首先知道二分图是什么

简单的来说，就是把一个图分成两个点集，保证两个集合内部没有连边

 

那二分图最大匹配呢？也就是在这个图里有几条边，并且不存在多条边依附于同一个顶点（也就是一人一个老婆）

那最大的也就很显然了，就是令单身狗尽量的少

 

 

 

 我们一般用匈牙利算法解决这一问题，说到这个就不得不提一下增广路了

增广路

定义

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径(举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行)。

比如说我们先上一个图

 

 

 首先这里有一个M的边集{0,4 1,7 2,5}

但是我们可以找到一条增广路

 

 

 橙色即增广路，我们匈牙利算法是每次加入一个点，然后保证当前是最大二分图匹配，所以当有新的一个点（这里如3）加进来的时候，就去看它能匹配的点，（当然如果能匹配就直接匹配了）

当不能匹配的时候我们就问（能不能把你的老婆让给我？）　　然后又去递归找那一个点去循环，问别人能不能让老婆，（不能让的话就等于不可以再增加最大匹配）所以我们每次都是一条尝试匹配的边（橙色的）和已经匹配的边（蓝色的）交替进行，这一条路就成为增广路——因为可以增加最大匹配的边数

性质

由增广路的定义可以推出下述五个结论:

1-P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2-不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M'，直到找不到更多的增广路。

3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

4-最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数

5 -- 二分图的最小路径覆盖数 = 原图点数 - 最大匹配数

增广路主要应用于匈牙利算法中，用于求二分图最大匹配

匈牙利算法

方法

①置M为空；

②找到一条增广路径P，通过操作获得更大的匹配M'代替M；

③重复②直到找不到新的增广路径。

所以我们来看看代码（代码我是从左边连边到右边，也就是左边找老婆）

 1 #include
 2 using namespace std;
 3 const int N=90010;
 4 int n,m,cnt,tot,ans,tag;
 5 int last[N];//链式前向星 
 6 bool use[N];//判断这个点是否在本次操作中有连边 
 7 int f[N];//右边的点和哪一个连着的（是谁的老婆 
 8 struct edge{
 9     int pre,to;
10 }e[N];
11 void add(int x,int y)
12 {
13     cnt++;
14     e[cnt].pre=last[x];
15     e[cnt].to=y;
16     last[x]=cnt;
17 }
18 bool find(int u)
19 {
20     for(int i=last[u];i;i=e[i].pre)//一条一条的找 
21     {
22         int to=e[i].to;
23         if(use[to]==tag)continue;//标记这个点已经是让过得了，因为再让的话没有意义的 
24         use[to]=tag;//标记 
25         if(!f[to]||find(f[to]))//如果直接可以连上或者可以通过增广路得到 
26         {
27             f[to]=u;//就让一让 
28             return true;
29         }
30     }
31     return false;
32 }
33 int main()
34 {
35     scanf("%d%d",&n,&m);
36     for(int i=1;i<=m;i++)//连边，因为我们只需要从左边的集合走到右边的集合找老婆（你要反着来我也没意见） 
37     {
38         int a,b;
39         scanf("%d%d",&a,&b);
40         add(a,b);
41     }
42     for(tag=1;tag<=n;tag++)//一个一个点加进去 
43     {
44         tag++;//标记 
45         if(find(tag))ans++;//能找到就多一条匹配边 
46     }
47     printf("%d",ans);
48     return 0;
49 }

然后我们就有了更多的 拓 展 芝 士

最小点覆盖

即在一个图里找最少的点，并选中所连的边，使得所有的边被覆盖，这里的是二分图里的最小点覆盖

最小点覆盖=二分图最大匹配

为什么呢？

首先，最小点覆盖<=二分图最大匹配，因为二分图最大匹配有n条边，光覆盖这些就需要n个点，所以得证

然后，最小点覆盖>=二分图最大匹配，因为每一个已经选择的点都至少能找到一条边连向没有选择的点，如果找不到，说明这个点选择的没有意义，因为他的所有边能被其他的点连上，矛盾的

并且不会出现多个点只能连接一个点，假设有一个点集S中的点只能连接点A，再次假设去掉A，这个点集所有的点都连向被选择的点了，所以我们还需要覆盖S到A的所有的边，所以我们选A即可覆盖，然后就可以不必选S中的点（因为选了A的话，必定有一个点或多个点出现第一种情况，所以可以去掉）所以最大匹配至少就是最小点覆盖的个数

所以最小点覆盖=二分图最大匹配

二分图的最大独立集

最大独立集=点数-最小点覆盖

因为选取了最小点覆盖就可以删除所有的边，所以剩下的点就是相互独立的了

最大团

就是一张图里最大的两两都有连边的

这个只在保证了取反以后可以是二分图的，因为原来是互相都相连的，所以取反后就相互独立，也就是最大独立集

最小路径覆盖

分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。

小不相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点各不相同。

最小可相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点可以相同

 DAG可相交路径

首先把每一个点拆成两个点，一个是xi，一个yi，若一个边a-b，也就是xa到by，所以就是二分图了

首先每个点都已是一个单独的路径，每次有一条边，就少了一条路径，也就是减一，所以求最大匹配即可，然后相减