叉积

叉积

　　叉积的计算是线段方法的核心。考虑如图33-1(a)所示的向量p1和p2。我们可以把叉积解释为由点(0,0)，p1，p2 和 p1+p2=(x1+x2,y1+y2)所构成的平行四边形的有向面积。另一种与之等价但更有效的叉积定义方式是将之看做矩阵行列式:

p1×p2=det[x1y1x2y2]=x1y2−x2y1=−p2×p1

若 p1×p2 值为正,则相对于原点(0,0)来说，p1位于p2的顺时针方向；若 p1×p2 值为负，则p1位于p2的逆时针方向。图(b)展示了向量p的顺时针和逆时针区域。叉积为0时出现边界情况；在这种情况下，两个向量是共线的，指向相同方向或者相反方向。

　　为了确定相对于公共端点p0，有向线段 p0p1−→− 是在顺时针还是逆时针方向更接近 p0p2−→− ，我们将p0作为原点从而使问题简化。用p1-p0来表示向量 p′1=(x′1,y′1) ，其中 x′1=x1−x0 ， y′1=y1−y0 ，类似的，可以定义p2-p0。然后，计算叉积

(p1−p0)×(p2−p0)=(x1−x0)(y2−y0)−(x2−x0)(y1−y0)

如果叉积为正，那么 p0p1−→− 位于 p0p2−→− 的顺时针方向；否则为逆时针方向。

确定连续线段是向左转还是向右转

　　我们讨论的下一个问题是在点p1处，两条连续的线段 p0p1¯¯¯¯¯¯ 和 p1p2¯¯¯¯¯¯ 是向左转还是向右转。也就是说，找出一种方法可以确定一个给定角 ∠p0p1p2 的转向。采用叉积运算来解决这个问题可以避免计算角度。如图33-2所示，我们只需简单地判断一下有向线段 p0p2−→− 是位于 p0p1−→− 的顺时针还是逆时针方向。因此，我们计算出叉积 (p2−p0)×(p1−p0) 。若结果为负，则 p0p2−→− 在 p0p1−→− 的逆时针方向，在p1处左转。同理，若结果为正，则在顺时针方向，在p1处右转。而叉积为0则意味着p0、p1和p2三者共线。