自动控制原理（3）——数学模型的引出

1、数学模型：描述系统（或环节）的输出变量与输入变量（或内部变量）之间关系的数学表达式

2、建立控制系统数学模型的原因：以便定量的给出系统中一些变量之间的相互关系，从而对控制系统进行各种分析和设计，包括稳定性和动态响应的性能分析

3、数学模型的形式

• 代数方程：反映系统静态关系
• 微分方程/偏分方程：连续系统，系统输入输出之间的动态关系
• 差分方程：离散系统

4、建立数学模型的方法

• 机理建模：根据系统的运动学或动力学规律，比如机械系统中的牛顿定律、电路系统中的克希霍夫定律等，建立系统的数学表达式。因此，机理建模要求要了解所有原部件的结构，以及对应的物理机理
• 实验建模：人为的给系统施加某种典型的输入信号，记录下对应的输出响应数据，通过辨识的方法，采用适当的数学模型、去模拟逼近这个响应过程，所获得的数学模型称为辨识模型

建立数学模型的要求：准确，简单

5、系统分类

• 线性系统：满足叠加原理
• 非线性系统：不满足叠加原理（对两个输入量的响应不能单独计算，系统分析困难）
• 集中参数系统：变量仅仅是时间的函数（微分方程）
• 分布参数系统：变量不仅是时间的函数，而且是空间的函数（偏微分方程）
• 定常系统：微分方程的各项系数为常数
• 时变系统：系统的微分方程的系数为时间的函数。也就是除了系统变量会随时间发生变化外，系统参数也随时间变化
• 单输入单输出系统：系统只有一个输入变量和一个输出变量
• 多输入多输出系统：系统有多个输入变量或多个输出变量

6、求解微分方程

• 拉氏变换与反变换
  • 对线性微分方程的每一项都进行拉氏变换
  • 输出变量的象函数表达式
  • 部分分式展开
  • 进行拉氏反变换
  • 得到微分方程的解

7、非线性微分方程的线性化

进行线性化的原因

• 严格的说，几乎所有原件或系统的运动方程都是非线性方程，即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，在实际应用中不够简便。如果能够与合适的方法，在可允许的误差范围内，把非线性系统进行线性化处理，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价值

非线性数学模型的线性化

• 在一定条件下或一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法

线性化所需条件

• 小偏差理论或小信号理论。在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，变量在工作点附近作小范围变化
• 工作点附近存在各阶导数或偏导数

线性化的方法

• 小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中的高阶无穷小项，得到只包含偏差的一次项的线性方程

需要注意的问题

• 必须首先确定工作点
• 如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大误差
• 线性化后的微分方程通常是增量方程
• 只能用于满足两个前提条件的非线性控制系统。如果描述非线性特性的函数，具有间断点、折断点或非单值关系，此时线性化的第二个条件不满足，这种非线性特性叫做本质非线性，无法作线性化处理