滚球法(Ball Pivoting)三维表面重建论文笔记

参考资料

[1] 原文
[2] 滚球法Github链接
[3] BPA PDF
[4] 文中提到的空洞填补论文（A Volumetric Method for BuildingComplex Modcls from Range Images）

相关问题

1.选择种子点（seed）时要确保三个顶点的法向相同（constitently oriented）
2.滚球法可改变半径并多次使用

相关参数

Lists: 数据点${\sigma }_i$、法向量$n_i$
front： 已连接边缘链表（Linked Lists of edges）的集合，初始组成为单闭合回路（single loop）

ps： front使用链表保存的原因：球沿着边缘旋转时，front将改变其拓扑结构
两种情况：
（1）遇到新数据：使用拓扑运算符 $join$

（2）遇到以前使用过的数据点，使用拓扑运算符$glue$
以上两个拓扑运算符能保证front在任意时刻都是链表结构

原理介绍

1.基本概念

1.1 顶点表示

每条边$e_{ij}$由两个端点$({\sigma }_i,{\sigma }_j)$表示，相对顶点（opposite vertex）${\sigma }_o$，连接此三个顶点的球的中心为$c_{ijo}$，半径为$\rho$

球旋转操作:

添加三角形的连接操作（去除边$e_{ij}$并添加两条新边$e_{ik}$、$e_{kj}$）:

1.2 边表示

沿着front的同一个闭合回路连接前一条边（previous dege）和后一条边（next edge）
每条边有三种状态：

1.$active$：用于旋转

2.$boundary$：不能旋转的边

3.$frozen$

将所有信息与edge一起保存,可以使得旋转球的过程变得简单

1.3 数据结构

1.3.1 元素

$ball\_pivot和find\_seed\_triangle$这两个过程需要对包含在空间领域内的点子集进行有效查找，可以使用 立方体单元格（a regular grid of cubic cells）或者体素（Voxel） 进行实现

1.3.2 存储方式

数据点保存在桶排序（Bucket sort）的链表（Lists）中，每个体素形成一个“桶”，体素的尺寸为$\delta =2\rho$,相同体素内的数据点形成连续的子列表（“桶”），每个体素存储一个指向其子链表开头的指针（如果体素内没有数据则指向下一个体素）

1.3.3 查找方式

给定点$p$，将它的坐标除以$\delta$（体素尺寸即球直径）便可以很容易的查找它所属的体素（优化点1）
我们通常需要查找到点$p$距离$2\rho$（球直径即体素尺寸）以内的所有点，这些点都包含在与V相邻的27个体素中（包括V本身）

2.算法实现

2.1 查找种子点（Find Seed Triangle）

（1）选取没有被使用过的任意点$\sigma$
（2）按到$\sigma$的距离考虑其邻域内的点对（pairs）${\sigma }_a,{\sigma }_b$
（3）创建潜在的种子三角形$\sigma ，{\sigma }_a,{\sigma }_b$
（4）检查三角形法线与其顶点法线是否相同（如向外指向）
（5）检查中心在外半空间（猜测：利用法向判断方向）的半径为$\rho$的球是否接触三个顶点并且不包含其他数据点
（6）找到所有有效种子点时停止
一些问题：
（1）对于主表面附近的一些噪声点（如配准时产生的重影）容易形成一些小的潜在种子三角形，虽然很容易通过后滤波去除掉，但是会浪费大量的计算资源（优化点2）

噪声样本导致产生了两层数据:

（2）每个体素只考虑将其中一个点作为种子三角形的顶点，在体素区域内的表面（surface）法向用该体素内所有点的法向的均值表示
（3）当找到seed后就开始用Pivoting操作进行重建，当不能继续旋转时就在停止位置寻找新的种子点，跳过所有包含已组成三角形顶点的体素（体素中有一个点是已找到的三角形中的顶点），当无法再找到seed时，停止算法

2.2 球旋转（Ball Pivoting）

2.2.1 旋转操作

球旋转操作：

其中：

$m：$顶点${\sigma }_i、{\sigma }_j$的中点
${\sigma }_i、{\sigma }_j：$旋转edge的两个端点
${\sigma }_x：$待检测连接的点（以$m$为中心的$2\rho$邻域内的所有点）
$c_x：$与${\sigma }_x、{\sigma }_i、{\sigma }_j$接触的圆球的中心

所有的$c_x$都位于环形轨迹（circular trajectory）$\gamma$上，通过计算球$\rho$与圆$\gamma$的交点便可计算出在${\sigma }_x$处的圆中心点
记录下第一个接触（hit）到的点的坐标及其对应的球中心
（可通过添加一些约束条件（Trivial rejection）以加速寻找第一个接触到的点）（优化点3）

2.2.2 join和glue操作

$join$和$glue$操作：

沿着边$e_{ij}$旋转，触碰的点为${\sigma }_k$
情况一：${\sigma }_k$不是$mesh$中的点
输出三角形$({\sigma }_k、{\sigma }_i、{\sigma }_j)$并移除边$e_{ij}$并添加两条新边$e_{ik}$、$e_{kj}$

情况二：${\sigma }_k$已经是$mesh$中的点
（1）${\sigma }_k$是当前mesh内部的点
即当前mesh所有的边（edge）都没有包含顶点${\sigma }_k$（${\sigma }_k$不在当前mesh的边界（front）上）
边$e_{ij}$会被标记为$boundary$
（2）${\sigma }_k$是front（当前mesh边界edge）上的点
首先检查添加候选三角形不会造成非流形（nonmanifold）或不可定向流形（nonorientable manifold）
待查1：（检查可以通过检查连接（incident）到${\sigma }_k$的edge是否存在（existence）以及其方向（orientation）来确定）
随后即可执行$join与glue$操作

2.2.3 Out-of-Core extension

核心外扩展（Out-of-Core extension）可以采取阵面推进法（advancing-front method）
文章中使用了简单数据切片方案（simple data-slicing scheme）
基本思想：缓存当前用于旋转（Pivoting）的数据集的一部分来转储不再使用（no longer being used）的数据（即已经找到三角形的区域），加载需要的数据
（1）使用两个轴对齐（Axis-aligned）的平面${\pi }_0$与${\pi }_1$来定义用于旋转的活动工作区域
（2）初始化${\pi }_0$的条件：没有数据在该平面之下（below）
（3）${\pi }_1$：在${\pi }_0$之上（above）一定距离（用户指定distance）
（4）创建edge后，测试其端点是否高于(above)${\pi }_1$，是的话就将其标记为$frozen$
（5）当队列中所有的edge都被$frozen$后，向上抬升${\pi }_0$和${\pi }_1$，并将所有$frozen$的$edge$更新为$active$的$edge$
（6）当相应的边界框进入或退出活动切片（slice）时，将从内存加载或丢失对应的数据点子集（优化点4）

2.2.4 多次传球（Multiple Passes）

处理采样不均匀表面，可通过增加球半径进行多次传递的方法改善

Remarks

1.算法复杂度对于数据点数目上是线性的，并且是按照线性存储的
2.密度有界假设，此假设适用于扫描数据（scanned data），就算多次重复扫描，任意区域的点总数也是在已知的常量范围之内
3.算法大部分步骤都是复杂度为$O(1)$的操作（如更新到队列、链接链表等）
4.每次$ball\_pivot$操作都要在不同的$meshedge$上进行，所以旋转次数（复杂度）为$O(n)$
5.一次单独的$pivot$需要识别$2\rho$邻域内的所有点，可以将候选点周围27个体素内的作为需识别的点，因为密度有界，所以这些点总数会限定在常数$B$内
6.$find\_seed\_triangle$依次选取未被使用过的点，因为每个点最多被使用一次，因此此操作的复杂度也为$O(n)$
7.考虑待选seed是否被接受时，需要根据接触三个顶点的球对周围邻域内的所有点进行区分，因此复杂度为$O(B^3)$
8.BPA的空间复杂度为$O(n+L)$，$O(L)$体素总数，$O(n)$是数据数目，可通过“切片”（阵面推进法）方法控制