多元复合函数求导法则

1、一元函数与多元函数复合的情形
若函数 u=ϕ(t)、v=ψ(t) u = ϕ ( t ) 、 v = ψ ( t ) 都在点 t t 可导，函数 z=f(u,v) z = f ( u , v ) 在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数，那么复合函数 z=f[ϕ(t),ψ(t)] z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] 在点 t t 可导，则对应

z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t) z = f ( u , v ) , { u = ϕ ( t ) v = ψ ( t )

有

dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t

2、多元函数与多元函数复合的情形
若函数 u=ϕ(x,y)、v=ψ(x,y) u = ϕ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y ) 都在点 (x,y) ( x , y ) 具有对 x、y x 、 y 的偏导数，函数 z=f(u,v) z = f ( u , v ) 在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数，那么复合函数 z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] 在点 (x,y) ( x , y ) 的两个偏导数都存在，则对应

z=f(u,v),{u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y) z = f ( u , v ) , { u = ϕ ( x , y ) v = ψ ( x , y )

有

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x

∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y