有边数限制的最短路

bellman-ford算法

有边数限制的最短路

1.什么是bellman - ford算法？
Bellman - ford算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
(通俗的来讲就是：假设1号点到n号点是可达的，每一个点同时向指向的方向出发，更新相邻的点的最短距离，通过循环n-1次操作，若图中不存在负环，则1号点一定会到达n号点，若图中存在负环，则在n-1次松弛后一定还会更新)
2.bellman - ford算法的具体步骤
for n次
for 所有边 a,b,w (松弛操作)
dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)
注意：backup[]数组是上一次迭代后dis[]数组的备份，由于是每个点同时向外出发，因此需要对dis[]数组进行备份，若不进行备份会因此发生串联效应，影响到下一个点
3.在下面代码中，是否能到达n号点的判断中需要进行if(dis[en] > inf/2)判断，而并非是if(dist[en] == INF)判断，原因是inf是一个确定的值，并非真正的无穷大，会随着其他数值而受到影响，dis[en]大于某个与INF相同数量级的数即可
4.bellman - ford算法擅长解决有边数限制的最短路问题

#include 
using namespace std;
const int N=505,M=1e4+5,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
int dis[N],backup[N];
struct node{
    int x,y,val;
}edge[M];
//O(n*m)
int bellman_ford(int st,int en){
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[st]=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        memcpy(backup,dis,sizeof dis);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            auto t=edge[j];
            dis[t.y]=min(dis[t.y],backup[t.x]+t.val);
        }
    }
    if(dis[en]>inf/2) return -1;
    return dis[en];

}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        edge[i]={x,y,z};
    }
    int ans=bellman_ford(1,n);
    if(ans==-1) puts("impossible");
    else cout<<ans<<"\n";
}