数值计算——列主元高斯消去法求解线性方程组（附代码）

目录

列主元高斯消去法原理

列主元高斯消去法流程图

C++程序源代码

实例

运行结果

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列主元高斯消去法原理

          在基本高斯消去法的消元过程中并没有考虑任何数值方面的问题，事实上这方面的问题是常见的，也是不能忽略的，即当主元,且很小时，高斯消去法虽然能执行下去，但用作为主元计算行乘数时，会扩大误差，导致结果不可靠，甚至严重失真。

 基本高斯消去法的求解过程如下（具体原理参考https://blog.csdn.net/weixin_41788456/article/details/102485139）：

设Ax=b，,若A的所有顺序主子式均不为零，则基本高斯消元无需换行进行到底，得到唯一解，其消元和回代的计算公式为：

（1）消元计算     对于

                                                                

                                    

（2）回代计算

                                       

在上面的求解过程中可以看出，适当的改变算法可以有效的提高精度，其基本思想是，在高斯消去法的每一步先选择一个绝对值最大的元素，在进行行行交换、消元，即变换到第k步时，从第k列的及以下的各元素中选出绝对值最大者，然后通过行变换将它交换到主元素的位置上，再用其消去主对线以下的其他元素，最后变为同解的上三角形方程组，这种方法称为列主元高斯消去法。

列主元高斯消去法流程图

C++程序源代码

 

//列主元高斯消去法实现
//开发人员：chenshuai  开发日期：2019.11.24   邮箱：[email protected] 
#include "pch.h"
#include //基本数据流输入/输出
#include  //参数化输入/输出 
#include //STL动态数组容器
using namespace std;
//************************
//列主元高斯消去法公式
//***********************
vector cpe_gaussian_elimination(vector>a, vectorb); //高斯消去法求解线性方程组AX=B
vector cpe_gaussian_elimination(vector>a, vectorb)
{
	int n = size(b);
	vectorx;    //定义方程组解
	x.resize(n);
	vectormi_k; //定义消去过程中的中间变量
	mi_k.resize(n);
	double sum,max=0,c;
	//n-1步消元
	for (int k = 0; k < n - 1; k++)
	{
		//列主元，找到绝对值最大的主元
		if (a[k][k] == 0 || fabs(a[k][k]) < epslion)//列主元的条件就是主元为0或者主元小于某一个值
		{
		    max = fabs(a[k][k]);
			for (int i = k; i < n; i++)
			{
				if (max < fabs(a[i][k]))
				{
					max = fabs(a[i][k]);
				}
			}
			//交换该行
			for (int i = k; i < n; i++)
			{
				if (max == fabs(a[i][k]))
				{
					for (int j = k; j < n; j++)
					{
						c = a[k][j];
						a[k][j] = a[i][j];
						a[i][j] = c;
					}
					c = b[k];
					b[k] = b[i];
					b[i] = c;
				}
			}
		//求出第i次初等行变换系数
			for (int j = k + 1; j < n; j++)
			{
				mi_k[j] = a[j][k] / a[k][k];
			}
			for (int i = k + 1; i < n; i++)
			{
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					a[i][j] = a[i][j] - mi_k[i] * a[k][j];
				}
				b[i] = b[i] - mi_k[i] * b[k];
			}
	}	//回代过程
	x[n - 1] = b[n - 1] / a[n - 1][n - 1];
	for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
	{
		sum = 0;
		for (int j = i + 1; j < n; j++)
		{
			sum = sum + a[i][j] * x[j];
		}
		x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i];
	}
	return x;
}
int main()
{
	int n = 2;
	vector>a;
	a.resize(n, vector(n));
	vectorb(n);
	vectorx;
	a[0] = { 0.007,-0.8 }, a[1] = {-0.1 ,10};
	b = { 0.7,10};
	x = cpe_gaussian_elimination(a, b);
	cout << "解为：" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cout <<"x["<

实例

用列主元高斯消去法求解线性方程组：

                                                              

运行结果