线性代数07 克拉默法则（Cramer）

至此为止我们已经掌握了一些关于线性方程组的解的线性代数内的内容，在开始这一章的博客之前，我先来个小结：
①利用系数矩阵的秩来判断解的情况
②利用系数矩阵的行列式来判断解的情况
③齐次/非齐次线性方程组的通解求解方法
④矩阵的逆与方程的解的关系，并给出了矩阵的逆的求法

1 克拉默法则

（1）适用条件：只适用于n个方程，n个未知量，且具有唯一解的情况（因为要使用到系数矩阵的行列式，且行列式|A|≠0）

（2）克拉默法则的内容：

对于一个n个方程，n个未知量，且具有唯一解的线性方程组来说，它的唯一解是：
$$X=(\frac{|B_1|}{|A},\frac{|B_2|}{|A},......,\frac{|B_n|}{|A},{)}^T$$
解释：

• 其中的|A|指的是方程Ax=b的系数矩阵的行列式|A|
• 而|B|指的是用常数项替换了系数矩阵的某一列后的矩阵的行列式，例如：对于下面这个方程组来说
  

根据克拉默法则，有以下等式：
$$\begin{gathered} |A|=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|=3 \\ |B_1|=\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 3& 2\end{array}\right|=3 \\ |B_2|=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right|=6 \end{gathered}$$
可以看到，其实所谓的|B|，就是对应下标所在列被常数项替换后的行列式的结果。
对以上三个行列式进行克拉默法则可以得到解等于
$$x=\frac{|B_1|}{|A}=1;y=\frac{|B_2|}{|A}=2$$
代入原方程可以发现克拉默法则的正确性。

2 总结

这就是克拉默法则的内容，克拉默法则的一个非常大的优点就是我们可以用代数公式来表示n个方程，n个未知量，且具有唯一解的线性方程组的解。（我们之前所有的解都是公式的形式），虽然在具体的计算中，我们很少使用克拉默法则来计算方程的解，但是我们仍然认为克拉默法则有非常大的意义。
链接：克拉默法则