一时兴起 Lindström–Gessel–Viennot 引理某不可说网站页面翻译

哦，我真的好闲喔......主要是自己没有搜到其他的中文翻译版本（也可能是我没搜到），我就自己先翻译过来然后好好研究啦。

声明：咱英语也就那样，有些（可能）不太重要的东西（其实就是我看不懂）我就略过去了///

声明*2：这个真的是我随便翻译的！

关于该引理的陈述：

        首先，我们定义(声明？)一个有向无环图G——这能保证在这个图G里，所有的点的度数都是有限的，并且没有环(废话)。在这个图里面，有出发点点集A和目的地点集B，每条边e都有其权值。然后我们定义一个函数  ，其中这个P是指两个点之间的某一条具体路径，而这个函数的含义是指组成路径P的各条边的权值的乘积。

        然后我们再定义一个函数  。解释一下：对于点集A和点集B里面的任意两个点a和b(总之就是A里面随便选一个点，B里面也随便选一个点)，我们找出所有可以从a到b的路径，对这些路径都进行一次的运算并求和，得到的就是我们的函数 。

特殊情况：所有的边的权重通通是1的时候（或者这个图没有“权重”这个概念，然后你就可以当成所有的边权通通是1），这个函数值便是点a到点b的不同路径数（就是有几种不同的a到b的方法啦）。

然后我们画个矩阵：

然后这个牛逼闪闪名字贼长的定理告诉你，这个看起来很牛逼的矩阵对应的行列式也是有实际意义的。

啥你问行列式是啥？20块买个线性代数课本不亏，真的。

先直接给出结论，wiki上面一张图：

这个的意思是，我们想从n个起点(点集A里面的)到n个终点(点集B里面的) 找n条不相交的线路，并且我们知道起点对应的那条路径的终点是，我们把这个(1), (2),...(n)组成一个序列P'（换句话说，P' 有很多个，假设有三个出发点和三个终点，那我们可以写出六个序列P'：{1,2,3}，{1,3,2}，{2,1,3}，{2,3,1}，{3,1,2,}，{3,2,1}），我们把这几个路径作的运算后求积，然后乘以序列P'的符号（符号取决于P'的逆序数，其值为-1的逆序数次方），得到一个值，这个值对应的就是这个特定的序列P'。由于从出发点集到终点集可以写出来的序列P'有很多个（就像上面的举例，我们可以写出来六个），我们把所有的P'对应的值都求出来后全部求和，得到的就是矩阵M对应的行列式的值。

在这里，特殊情况又有了另一个意义：如果所有的边的权值都是1（跟上面的那个特殊情况一个意思），最后这个矩阵M对应的行列式的值就有了另一个很“实用”的含义：从点集A到点集B的n条严格不相交路径的方案数。

嗯，总结一下，上面一段话是有用的，上面的上面的那一端话（我觉得）是没有用的。倒不如说我的表达就很不严谨，嘛我自己看得懂就差不多啦。

什么？证明？不会！自己去口也wiki啦！

这个定理在特殊情况下（边权都为1）的情况下会有非常多的应用，比如说这样子的地图：

是的，像这样子的棋盘式地图，求两个点集之间的不相交路径方案数，就可以直接利用组合数和上面的行列式来求了。