数论定理

海伦公式：

 

  1.欧拉定理： ，正整数 a , p 互质，则  ,其中 φ(p) 是欧拉函数（1~p) 与 p 互质的数。

  2.费马小定理：对于质数p，任意整数a，均满足：。

  3.欧拉定理的推论：若正整数a，p互质，那么对于任意正整数b，有

 

求逆元：

1.扩展欧几里得算法：

可推得

a就是要求的逆元，最终的如果a是正数的话要 mod p，因为a加上mp的时侯k减少mb可以使得等式依然成立。

代码：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

注意：返回的时候可以改成(x+mod)%mod，因为扩展欧几里得算法算出来的x应该不会太大.

性能分析:

• 时间复杂度:O(logn)（实际是斐波那契数列）
• 适用范围：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法。

2.费马小定理/欧拉定理

费马小定理：对于质数p，任意整数a，均满足：  , 拆成

其中就是a在mod p意义下的逆元。

欧拉定理： ，正整数 a , p 互质，则  ,拆成

其中就是a在mod p意义下的逆元。

代码

LL qkpow(LL a,LL p,LL mod)
{
    LL t=1,tt=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)t=t*tt%mod;
        tt=tt*tt%mod;
        p>>=1;
    }
    return t;
}
LL getInv(LL a,LL mod)
{
    return qkpow(a,mod-2,mod);
}

性能分析：

• O(logmod)
• 适用范围：一般在mod是个素数的时候用，比扩欧快一点而且好写。
• 但是如果是合数，相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。