AtCoder ABC 162 E - Sum of gcd of Tuples (Hard)（思维）

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc162/tasks/abc162_e

题意：给你两个正整数$n,k$，问你$$\sum _{a[i]=1}^{k}gcd(a[1],a[2],...,a[n])\%(1e9+7)$$

思路：首先这一题$n,k$的取值范围都是$1e5$，所以暴力肯定是不行的。那我们就可以考虑一下，$gcd(a[1],a[2],...,a[n])$的值只有可能是$[1,k]$！！！那我们就可以想办法找出$gcd(a[1],a[2],...,a[n])=i$的个数存到数组$ANS[i]$中，那么
${\sum }_{i=1}^{k}i\times ANS[i]$就是答案啊。
那我没有想到了，在不考虑重复的情况下，$gcd(a[1],a[2],...,a[n])=i$的个数就是$(k/i{)}^n$。
那如果考虑重复呢？那就有以下等式：
$gcd(1)=gcd(1)-gcd(2)-gcd(3)-...$
$gcd(2)=gcd(2)-gcd(4)-gcd(6)-...$
$gcd(3)=gcd(3)-gcd(6)-gcd(9)-...$
所以为了代码写起来简单点，我们可以从$k$开是往后遍历，那么这一题就结束啦。

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#define LL long long
#define pii pair
#define sd(x) scanf("%d",&x)
#define slld(x) scanf("%lld",&x)
#define pd(x) printf("%d\n",x)
#define plld(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(i,a,b) for(int i = (a) ; i <= (b) ; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = (a) ; i >= (b) ; i--)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
#define fast_io ios::sync_with_stdio(false)

const int INF = 1e9;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 7;

LL qpow(LL a,LL b) {
    LL res = 1;
    while(b) {
        if(b&1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int ANS[maxn];

int main() {
    int n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)) {
        mem(ANS);
        per(i,k,1) {
            ANS[i] = qpow(k/i,n);
            LL res = 0;
            for(int j = i + i ; j <= k ; j += i) {
                res = (res + ANS[j]) % mod;
            }
            ANS[i] = (ANS[i] - res + mod) % mod;
        }
        LL ans = 0;
        rep(i,1,k) {
            ans = (ans % mod + ((i % mod) * (ANS[i] % mod)) % mod) % mod;
        }
        plld(ans);
    }
    return 0;
}