凸集的一个证明

凸集的定义：
对集合 $S$ 任意两点 $x_1$， $x_2$，以及两个实数 ${\theta }_1$， ${\theta }_2$，并且 ${\theta }_1+{\theta }_2=1$， ${\theta }_1\ge 0$， ${\theta }_2\ge 0$，都有
$${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2\in S$$
则 $S$ 是凸集。

---

问题：
集合 $S$ 是凸集，这鞥名其中任意 $k$ 个点 $x_1\dots x_k$，以及 $k$ 个实数 ${\theta }_1\dots {\theta }_k$，并且 ${\theta }_1+\cdots +{\theta }_k=1$， ${\theta }_1\ge 0,\dots ,{\theta }_k\ge 0$，都有
$${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_k{x}_k\in S$$

---

证明：
数学归纳法。对于 $k=2$ 时，显然成立。
假设对于 $k=n$ 时成立，下面我们证明 $k=n+1$ 时也成立。
$$\begin{array}{rl}& {\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_{k+1}{x}_{k+1}\\ =& {\theta }_1{x}_1+(1-{\theta }_1)\left(\frac{{\theta }_2}{1-{\theta }_1}{x}_2+\cdots +\frac{x_{k+1}}{1-{\theta }_1}{x}_{k+1}\right)\end{array}$$

因为 $\frac{{\theta }_2}{1-{\theta }_1}+\cdots +\frac{{\theta }_{k+1}}{1-{\theta }_1}=\frac{1-{\theta }_1}{1-{\theta }_1}=1$，根据 $k=n$ 时成立，上式第二项在凸集 $S$ 中，第一项与第二项的和相当于 $k=2$ 的情况，故也在凸集 $S$ 中。$\square$