图论知识总结

总结一下图论的知识点几个大的分区

1：网络流

2：强连通分量，割点和桥

3：最短路

4：最小生成树

5：图论的小知识点

 

 

 网络流

一：最大流问题

现在很多都是配合二分通过网络流进行判定，单独的网络流，就是以流作为方案就好。//这一部分就是通过做题，积累就好

二：费用流问题

是在满足最大流的条件下，费用最小，这里的最大流一般就是一种条件（体会，保证图中满流或保证流量最大，的情况下的费用最小，这里是表示条件）。

三：最小割

二者取其一式、最大权闭合子图

 

//主要的思想还是通过复习以前的题目，和多做题，强化

 

强连通分量

很多强连通分量，都是配合着缩点来搞，然后依据有向无环图的一些性质，通过一些其他的方法来处理（DAG上dp，DAG上记忆化，DAG性质）

割点和桥（只做过模板题）

 

最短路

求最少步数，也就是给出的图边长为1，这样的图中求最短路，这种的bfs就可以解决，不需要跑最短路。

差分约束系统：形如ai-aj<=k这样的约束，求最大或最小值的题，注意有的情况会需要超级源的技巧。

建模：最短路的建模做的不多，可以分为点权最短路，和普通的边权最短路，一般就是将状态构成点，有联系的状态之间连边，边权就是转移的费用，由此实现初始向目标的最短路。

技巧：首先最短路还有包括网络流中有一个很重要的技巧（70分到100分的区别），就是有些图我们加边，我们将全部的边（n^2级）加进去，但是分析性质可以发现只需要加O（n）级数量的边就可以，实际上就是排除一些不需要的边以进行优化——bzoj4152

 

最小生成树

性质（都可以根据克鲁斯卡尔过程证明出来）

1：最小生成树一定是一个最小瓶颈生成树（最大边最小），最小生成树上的任意两点之间的路径一定是最小瓶颈路

2：图中环上的最大边，最小生成树一定不包含它；

3：生成树中若再加一个边，就一定会构成一个环，若要再构生成树，也一定要删除环中的一个边，由此可以做次小生成树。

TA整理的经典最小生成树笔记http://blog.csdn.net/ta201314/article/details/40825539

其重要思想加边构环判定大小

应用

1：最小生成树在很多时候是，在题目当中作为初始化的辅助用，然后再套上别的算法（例：货车运输 MST+倍增），当然这一般是类似贪心的思想，证明都是根据最小生成树的性质。（货车运输——性质1），//注意货车运输求得是最大生成树，算法没有什么区别

2：考察建模：bzoj1601（超级源技巧）//习题不够

3：考察性质与猜想：bzoj1821（需要练习）

 

矩阵树定理（未学）

 

图论小知识点

找环：首先判环的话有dfs判环（tyvj模拟赛，t3）和拓扑判环，其中最小环是通过floyd来求的。//待填坑

2-SAT

拓扑排序，拓扑序dp。：总是作为一个成分参与题目的一部分，辅助进行解题。

还有在题目中遇到一些没见过的图论的题和新定义，可以尝试进行推断分析该类型图的性质，以便于解题。

 

总说图论：

在图论的建模当中，通用且常有的技巧有

1：分点技巧

2：超级源技巧

3：减边，优化复杂度技巧