组合数学 —— 组合数取模 —— 逆元与递推打表

【逆元求法】

1.要求：p 是质数

2.时间复杂度：O(n)

3.求解  的步骤：

1）通过循环，预先算好所有小于 N 的阶乘（%p）的结果，存到数组 fac[] 中 (fac[i] = i!%p)

2）求 的逆元（即求 fac[m] 的逆元），根据费马小定理，x%p 的逆元为 ，通过快速幂，求解 ，记为 M

3）求  的逆元：同上，即求解 

4）通过逆元计算组合数，即：

4.实现：

LL powMod(LL x, LL n, LL mod) {//快速幂求x^n%mod
    LL res=1;
    while(n) {
        if(n&1)
            res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
LL inv(LL x,LL mod) {//求逆元
    return powMod(x,mod-2,mod);
}
LL fac[N];
int main() {
    LL n,m,mod;//要求mod是质数
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)//预处理求fac，fac[i]=i!%mod
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

    //C(n,m) = n!*(m!%mod的逆元)*((n-m)!%mod的逆元)%mod
    LL res=fac[n]*inv(fac[m],mod)%mod*inv(fac[n-m],mod)%mod;
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}

有时需要用到 1~n 的所有逆元，这个时候可以利用递推来求

设 

那么，有：

即：

两边同除 i*k，有：

即：

const int MOD = 1E9+7;
const int N = 100000+5;
LL fac[N],inv[N];
void init() {
    fac[0]=1;
    fac[1]=1;
    inv[0]=1;
    inv[1]=1;
    for(LL i=2; i

【递推打表】

1.要求：n、m 不大于 10000

2.时间复杂度：O(n^2)

3.方法：

4.实现

const int mod=1E9+7;
const int N=10000+5;
int comb[N][N];//comb[i][j]内存放的是C(i,j)%mod
void init() {
    for(int i=0; i=mod)
                comb[i][j]-=mod;
        }
    }
}