（图论）树的直径

引言

树作为一种特殊的图，具有很多良好的性质，树的直径便是其中之一。

定义

树的直径有许多相近的定义。但由于没有找到比较权威的定义，就用自己的语言大概表述一下吧。
对于一棵带非负边权的树，定义两点间距离为两点间路径的边权之和，树的直径就是距离最远的两点之间的路径，同时也称该距离为树的直径。
简而言之，树的直径就是树上最长的简单路径。

性质

1. 直径两端点一定是两个叶子节点。

2. 距离任意点最远的点一定是直径的一个端点。

3. 对于两棵树，如果第一棵树直径两端点为(u,v)，第二棵树直径两端点为(x,y)，用一条边将两棵树连接，那么新树的直径一定是u,v,x,y中的两个点。

性质证明

1. 显然成立，证明从略。

2. 情况一：点a在直径\((u,v)\)上。若存在点b使得$ dis(a,b) \gt dis (a,u) \text{并且} dis(a,b) \gt dis (a,v)$ ，则有 \(dis(b,v) \text{或} dis(b,u) \gt dis(u,v)\)，即\((u,v)\)不是该树的直径，矛盾。
   情况二：点a不在直径\((u,v)\)上。若存在点b使得$ dis(a,b) \gt dis (a,u) \text{并且} dis(a,b) \gt dis (a,v)$ ，不妨取直径的其中一个端点\(u\)分析。
   分析图如下（灵魂画手上线）：
   

   图片注：\(u\),\(v\) 为直径端点，\(c\)为\((a,b)\text{与}(a,u)\)交点，\(d\)为\((a,u)\text{与}(v,u)\)交点。

   由于\(dis(a,b) \gt dis (a,u)\) ,可知 \(dis(c,b) \gt dis (c,u)\)，进而得到\(dis(d,b) \gt dis (d,u)\)，最终可知\(dis(v,b) \gt dis (v,u)\)，即\((u,v)\)不是该树的直径，矛盾。

3. 如果新树直径不是原来两棵树中一棵的直径，那么新直径一定经过两棵树的连接边，新直径在原来每棵树中的部分一定是距离连接点最远的点，即一定是原树直径的一个端点。

求解算法

共有两种时间复杂度为 \(O(N)\) 的算法，一种是dp，另一种是贪心算法。

方法一：动态规划

根据定义，我们只需要求出最大链长即可。
首先将该树转化为有根树。设\(f[i]\)为以节点\(i\)为根的子树的最大深度，有状态转移方程\[f[i] = \max_{j \in s(i)}f[j]+1 \quad \text{where $s(i)$ is the set of the son nodes of node i.}\]那么在该子树中经过节点\(i\)的最长链长度为 \(f[i]\) 与次大 \(f[j]\) （缺省值为0）之和。在整个遍历过程中记录最大链长即可。

方法二：贪心算法

根据树的直径性质2，我们只需要任取一点\(s\)开始DFS（或BFS）即可找到距离该点的最远点，即直径端点之一，记为\(u\)。同样的，从节点\(u\)开始我们便可以找到另一个端点\(v\)，过程中记录距离即可得到树的直径。
相较于方法一，方法二可以更方便地找到直径的端点，进而得到直径的具体路径。

Code

暂略

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