51nod：1256 乘法逆元（数学）

1256 乘法逆元

基准时间限制： 1 秒 空间限制： 131072 KB 分值: 0 难度： 基础题

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input示例

2 3

Output示例

2

解题思路：K*M%N=1等价于K*M=1+N*X等价于K*M-X*N=1，这种形式就是不定方程x*m+y*n=gcd(m,n)的形式，这里m和n给出来了，且互质

，所以gcd(m,n)=1，然后用exgcd求解不定方程即可。

怎么求呢？我也是第一次学习，感觉这个博主写的不错，传送

我再拷贝下在这里，以便记住推导过程：

//小小地讲一下exgcd球不定方程原理 
 对于ax+by=gcd(a,b);  
我们设一下a>b,在简单直接把b=0时，gcd(a,b)=a.此时，x=1,y=0;  
接着，a>b>0，我们这里可以摆两个式子：①：ax1+by1=gcd(a,b);继续，②：bx2+(a mod b)y2=gcd( b , a mod b );第二个式子为何呢？这就是gcd的辗转相除法的算法啊。而且

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);  
然后我们就能将gcd左边两个等式列个等式：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;额。。。a mod b可以写成？a-(a/b)b对吧，

那么等式变成ax1+ by1= bx2+ (a - (a / b) * b)y2=bx2+ay2 - (a / b)by2 ;我们把ax1+ by1=bx2+ay2 - (a / b)by2拎出来，整理一下，写成：ax1+by1=ay2+b(x2-(a/b)y2); 那么很明显我

们可以得到，x1=y2,y1=x2-(a/b)y2;  
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 

代码如下：

#include 
typedef long long LL;
LL m,n,k,x;
void exgcd(LL a,LL b)
{
	if(b==0)//递归结束的终止条件 
    {
        k=1;
        x=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    LL temp=k;
    k=x;//相当于x1=y2 
    x=temp-(a/b)*x;//相当于y1=x2-(a/b)*y2 
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	exgcd(m,n);
	while(k<0)//所求出来的解可能是负的，题目说要最小的正数解，这样循环把他弄成正数 
	{
		k=(k+n)%n;
	}
	printf("%lld\n",k);
	return 0;
}