第三章 动态规划

学习要点

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理解动态规划的概念
掌握动态规划算法的基本要素
（1） 最优子结构性质
（2） 重复子问题性质
掌握设计动态规划算法的步骤
（1） 找出最优解的性质，并刻画其结构特征
（2） 递归地定义最优值
（3） 以自底向上的方式计算最优解
（4） 根据计算最优值时得到的信息构造最优解。

动态规划与分治法类似，都是将原问题划分成若干子问题求解，不同的是，适用于动态规划法解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。并且，为了避免大量重复计算，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思想。

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3.1 矩阵连乘问题

矩阵连乘代码：

void matrixMultiply(int **a,int **b,int **c,int ra,int ca,int rb,int cb)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int k = 0;

    // 矩阵不可乘
    if (ca != rb)
        return;

    for (i = 0; i < ra; i++)
    {
        for (j = 0; j < cb; j++)
        {
            int sum = 0;

            for (k = 0; k < ca; k++)
            {
                sum += a[i][k]*b[k][j];
            }

            c[i][j] = sum;
        }
    }
}

给定 n 个矩阵 {A1,A2,…,An},其中 Ai 与 Ai+1 是可乘的，i = 1,2,3,…,n-1。考察这 n 个矩阵的连乘积 A1A2,…,An。

由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可依次次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可以递归的定义为：
（1） 单个矩阵是完全加括号的
（2） 矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B和 C的乘积并加括号，即 A = （BC）。

例如： 矩阵连乘积A1A2A3A4 可以有以下 5 种不同的完全加括号方式：
(A1(A2(A3A4)))
(A1((A2A3)A4))
((A1A2)(A3A4))
((A1(A2A3))A4)
(((A1A2)A3)A4)

不同的加括号对应着不同的计算次序，不同的计算次序与计算量有密切的关系。
从以下程序可以得出，矩阵的连乘的计算次数等于 ra*ca*cb。以3个矩阵为例：
{A1,A2,A3} {10*100,100*5,5*50}
((A1A2)A3) 计算次数：10*100*5+10*5*50 = 5000+2500 = 7500
(A1(A2A3)) 计算次数：100*5*50+10*100*50 = 25000+50000 = 75000
可见运算次序是多么重要，于是我们需要寻找最优的运算次序使得乘次数最少。
那么如何让矩阵的连乘次数最少呢？

m[i][j] 数组

　 j
i 　 1 2 3 4 5 6
1 0 　 　 　 　 　
2 　 0 　 　 　 　
3 　 　 0 　 　 　
4 　 　 　 0 　 　
5 　 　 　 　 0 　
6 　 　 　 　 　 0
由于 i < j 因此求取问号区域的值

　 j
i 　 1 2 3 4 5 6
1 0 ? ? ? ? ?
2 　 0 ? ? ? ?
3 　 　 0 ? ? ?
4 　 　 　 0 ? ?
5 　 　 　 　 0 ?
6 　 　 　 　 　 0
m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+(pi-1*pk*pj)} i < j,i <= k < j

　 j
i 　 1 2 3 4 5 6
1 0 k ? ? ? ?
2 　 0 k ? ? ?
3 　 　 0 ? ? ?
4 　 　 　 0 ? ?
5 　 　 　 　 0 ?
6 　 　 　 　 　 0
以 m[1][3]为例，依次需要的数据有 m[1][1],m[2][3],m[1][2],m[3][3],看出来需要首先计算列以下内容，然后依次计算。

同理，求取 m[1][4]，需要提前知道 m[1][1],m[2][4],m[1][2],m[3][4],m[1][3],m[4][4].

　 j
i 　 1 2 3 4 5 6
1 0 k k ? ? ?
2 　 0 k k ? ?
3 　 　 0 k ? ?
4 　 　 　 0 ? ?
5 　 　 　 　 0 ?
6 　 　 　 　 　 0

由此得到循环的Code

#include 
#include 
#include 

void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s);

int main()
{
    int i = 0;
    int n = 0;
    /*  矩阵维度的数组 N+1 */
    int *p = NULL;
    /*  矩阵最少乘法次数的数组 (N+1)*(N+1) */
    int **m = NULL;
    /*  矩阵拐弯的记录数组(N+1)*(N+1) */
    int **s = NULL;

    scanf("%d",&n);

    p = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
    m = (int **)malloc((n+1)*sizeof(int*));
    s = (int **)malloc((n+1)*sizeof(int*));

    for (i = 0; i < n+1; i++)
    {
        *(m+i) = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
        *(s+i) = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));

        scanf("%d",&(p[i]));
    }

    /*  计算矩阵相乘次数*/
    MatrixChain(p,n,m,s);

    free(p);
    free(m);
    free(s);

    return 0;
}

void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int k = 0;

    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        m[i][i] = 0;
    }

    for (j = 1; j <= n; j++)
    {
        for (i = j-1; i > 0; i--)
        {
            m[i][j] = m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j] = i;

            for (k = i+1; k < j; k++)
            {
                if (m[i][j] > m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j])
                {
                    m[i][j] = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }

    printf("m[1][n] = %d",m[1][n]);
}