【JZOJ5458】质数【数论,数学】

题目大意:

题目链接:https://jzoj.net/senior/#main/show/5458
题目图片:
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L L L R R R中是质数或是两个质数之积的数的个数。


思路:

首先,观察最大数据:
L ≤ R ≤ 1 0 7 , Q ≤ 1 0 5 L\leq R\leq 10^7,Q\leq 10^5 LR107,Q105
那么肯定是要离线做的。
肯定是要先筛质数,那么就用线性筛,不仅得到 1 1 1 R R R之间的质数,还得到了每个数的最小质因数
那么对于一个数 x x x

  • 如果它是质数,那么就很明显 a n s + + ans++ ans++

  • 如果它不是质数:

    • 我们知道了这个数的最小质因数 v [ x ] v[x] v[x],那么如果它符合题目的要求就必然有 x = p r i m e [ i ] × p r i m e [ j ] x=prime[i]\times prime[j] x=prime[i]×prime[j]。我们又知道 v [ x ] ∣ x v[x]|x v[x]x且是质数,所以说,如果要符合题意,就有 x = v [ x ] × p r i m e [ j ] x=v[x]\times prime[j] x=v[x]×prime[j],即 p r i m e [ j ] = x ÷ v [ x ] prime[j]=x\div v[x] prime[j]=x÷v[x]。所以说,如果 x ÷ v [ x ] x\div v[x] x÷v[x]是质数,那么就 a n s + + ans++ ans++
    • 否则不合法。

那么我们可以求出前缀和 s s s s [ i ] s[i] s[i]表示 1 1 1 R R R中间有多少符合要求的数。然后 O ( 1 ) O(1) O(1)回答即可。
时间复杂度: O ( 1 0 7 ) O(10^7) O(107)(固定值,其实是 O ( R ) O(R) O(R)


代码:

#include 
#include 
#define N 10000100
#define MAXN 10000000
#define ll long long
using namespace std;

int sum,v[N],prime[N],s[N],l,r,n;
bool isp[N];

int f;
char c;

int read()  //输入流
{
	c=getchar();
	f=0;
	while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while (c>='0'&&c<='9') 
	{
		f=f*10+(c-'0');
		c=getchar();
	}
	return f;
}

int write(int x)  //输出流
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}

void find()
{
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)  //线性筛
	{
		if (!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++sum]=i;
			isp[i]=1;
		}
		for (int j=1;j<=sum;j++)
		{
			if (prime[j]>MAXN/i) break;
			if (prime[j]>v[i]) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)
	 if (isp[i]||isp[i/v[i]])  //符合要求
	  s[i]=s[i-1]+1;
	 else s[i]=s[i-1];
}

int main()
{
	find();
	n=read();
	while (n--)
	{
		l=read();
		r=read();
		write(s[r]-s[l-1]);
		putchar(10);
	}
	return 0;
}

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