算法竞赛入门经典第七章暴力求解法——回溯（2.例题深入）

上一篇文章将“回溯法”中最经典的“八皇后问题”进行了分析，这一篇继续探究回溯法，主要通过紫书上的例题进行研究。

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回溯法的思想

-标准定义主要是：
由n元组（x1,x2,….,xn）组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)|xi∈si}，给定关于n元组的约束集n，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1,x2,…,xj）违反D中的约束，则省略了对部分元素（xj+1,….,xn）的测试。

回溯法的模板

伪代码：

void search(cur,x[])
    if (cur=n) output(x)
    else for i=1....k
        x[cur] = value[i]
        if(constraint(cur)&&bound(cur))//约束条件和边界条件
            search(cur+1)

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-例1.素数环

问题描述：输入正整数n，把整数1,2,3…,n组成一个环，使得相邻两个整数之和均为素数。
思路：回溯。先打个素数表，之后根据输入的n，进行回溯
套用模板：

void search(cur,A[],vis[])
    if (cur=n) output(A)
    else for i=2....n
        if(!vis[i]&&isp[i+A[cur-1]])//约束条件和边界条件
            A[cur]=i
            vis[i]=1
            search(cur+1)
            vis[i]=0

注意这个vis是辅助的全局变量，作为使用的标记，而在回溯法中如果使用辅助的全局变量，则一定要及时把它们恢复原状。

具体代码如下：

#include
#include 
#include
#include
using namespace std;

const int maxn = 10010;
int n;
int A[maxn],isp[maxn],vis[maxn];

int is_prime(int n)
{
    if(n<=1) return 0;
    int k = floor(sqrt(n)+0.5);
    for(int i=2;i<=k;i++)
        if(n%i==0)
            return 0;
    return 1;
}

void dfs(int cur)
{

    if(cur==n&&isp[A[0]+A[n-1]])
    {
        for(int i=0;iprintf("%d ",A[i]);
        printf("\n");
    }
    else for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]&&isp[i+A[cur-1]])
        {   
            A[cur]=i;
            vis[i]=1;
            dfs(cur+1);
            vis[i]=0;
        }
    }
}

int main()
{

    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n > 0)
    {
        if(kase > 0) printf("\n");
        printf("Case %d:\n", ++kase);
        for(int i = 2; i <= n*2; i++) isp[i] = is_prime(i);
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        A[0] = 1;
        dfs(1);
  }
  return 0;
}

-例2.困难的串

问题描述：如果一个字符串包含两个相邻的重复子串，则称为“容易的串”，其他的串就为“困难的串”如D、DC、ABDAB等。
输入n和L，由前L个字符组成的，字典序第k小的困难的串。

代码如下：

#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 100;
char A[maxn];
int n,L;

int dfs(int cur)
{
    if(cur==n){
        for(int i=0;iprintf("%c",A[i]+'A');
        printf("\n");
        return 0;
    }
    for(int i=0;iint ok = 1;
        for(int j=1;j*2<=cur+1;j++)
        {
            int equal = 1;
            for(int k=0;kif(A[cur-k]!=A[cur-k-j])
                {
                    equal = 0;break;//一旦某一对元素不相同那么前一半就不等于后一半元素 
                }
            }
            if(equal) 
            {
                ok = 0;//如果相同，则不符合 
            }
        }
        if(ok)
        {
            if(!dfs(cur+1))//如果找到解直接退出
            return 0;
        }
    }   
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&L)==2&&n&&L)
    {
        dfs(0); 
    }
    return 0;
}