[SCOI2003]字符串折叠（区间DP）

题目描述

[SCOI2003]字符串折叠
题目描述
折叠的定义如下：

1. 一个字符串可以看成它自身的折叠。记作S = S
2. X(S)是X(X>1)个S连接在一起的串的折叠。记作X(S) = SSSS…S(X个S)。
3. 如果A = A’, B = B’，则AB = A’B’ 例如，因为3(A) = AAA, 2(B) = BB，所以3(A)C2(B) = AAACBB，而2(3(A)C)2(B) = AAACAAACBB
   给一个字符串，求它的最短折叠。例如AAAAAAAAAABABABCCD的最短折叠为：9(A)3(AB)CCD。

输入输出格式
输入格式
仅一行，即字符串S，长度保证不超过100。
输出格式
仅一行，即最短的折叠长度。
输入输出样例
输入样例 #1
NEERCYESYESYESNEERCYESYESYES
输出样例 #1
14
说明
一个最短的折叠为：2(NEERC3(YES))

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思路

我觉得这道题最巧妙的地方就是循环节的处理，可以思考一下，如果给你一个字符串的话，那么你要怎么处理这个字符串是否有循环节？如果有的话，那么循环节应该是什么？长度又会是多少呢？

之后，我们再来看一下这一道题，我们就可以发现，这道题就是我上面问题的一点点改编，或者是把难度降低了一些的低配。

我们思考一下如何设置状态？

按照区间DP的一般套路：$f[i,j]$表示的是区间$[i,j]$的最小的表示字符串的长度。

考虑转移：那么我们考虑一个区间会有什么情况呢？

一个区间是可以由两个区间直接摞到一起的结果，也可以是区间中的一个循环节不断循环的结果，那么，我们的状态转移也是可以用这两种方式转移而来的。

那么，我们就可以枚举断点$k$进行上述的两种操作。

$f[i,j]=min(f[i,j],f[i,k]+f[k+1,j])$

如果$[i,j]$是以$[i,k]$作为循环节的话：
$f[i,j]=min(f[i,j],2+f[i,k]+num[\frac{le{n}_{i,j}}{le{n}_{i,k}}])$
$num[i]$表示的是数字$i$的数字位数，这里的2指的是左右的括号的数量。

那么，这道题目最精彩的地方就要来了：我们要如何判断$[i,j]$是以$[i,k]$作为循环节呢？？

考虑一下如果$[i,j]$是以$[i,k]$作为循环节，那么他们都需要具备什么条件呢？

1. 两个字符串的长度要成倍数关系；
2. 在$[i,j]$中的字符必须满足条件和$[i,k]$之间的字符按照顺序对应一一对应的关系即可。

所以，我们就可以写出这样的代码对她们进行判断：
这里的len是$[i,k]$的长度，$l,r$也就是我们上面所说到的$[i,j]$的边界。

bool check(int l,int r,int len)
{
	for(int i=l;i<=r;++i)
		if(s[i]!=s[(i-l)%len+l])	return false;
	return true;
}

我们的初始状态就应该是$f[i,i]=1$，显然当字符串中只有一个字符的时候，最小的长度就是 1.
目标状态就是：$f[0,s.size()-1]$

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code

#include
using namespace std;

const int nn=103;

string s;
int num[nn], f[nn][nn];

bool check(int l,int r,int len)
{
	for(int i=l;i<=r;++i)
		if(s[i]!=s[(i-l)%len+l])	return false;
	return true;
}

int main()
{
	cin>>s; memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=9;++i)	num[i]=1;
	for(int i=10;i<=99;++i)	num[i]=2;
	num[100]=3;
	for(int i=0;i<s.size();++i)	f[i][i]=1;
	for(int l=2;l<=s.size();++l)
		for(int i=0;i<s.size();++i)
		{
			int j=i+l-1;
			if(j>=s.size())	break;
			for(int k=i;k<s.size();++k)	f[i][j]=min(f[i][j], f[i][k]+f[k+1][j]);
			for(int k=i;k<s.size();++k)
			{
				int len=k-i+1;
				if(l%len==0)
					if(check(i, j, len))	f[i][j]=min(f[i][j], 2+f[i][k]+num[l/len]);
			}
		}
	cout<<f[0][s.size()-1]<<endl;
	return 0;
}

完~。