线性代数第二章--矩阵

方程组若干概念

n元齐次线性方程组
n元非齐次线性方程组
n元齐次线性方程组 (所有xi都为0一定是方程的解）

矩阵的若干概念

m*n个数的数表
任意一个数称之为元素
全为实数的称为实矩阵，存在复数的称之为复矩阵
行数和列数相等的称之为方阵
只有一行的矩阵称之为行矩阵又称之为行向量
只有一列的矩阵称之为列矩阵又称之为列向量
两个矩阵的行数和列数相等称之为同型矩阵
同型矩阵对应的元素相等记作A=B
系数矩阵 未知矩阵 常数项矩阵 增广矩阵
除对角线外，的都是0称之为对角矩阵
对角矩阵对角线上的值都为1，称之为单位阵。

矩阵的运算

1 矩阵的加法

只有同型矩阵才可以运算
A+B=B+A
A+(B+C) = A+B+C

2 数与矩阵相乘

（$\lambda$$\mu$ )A = $\lambda$($\mu$A)
（$\lambda$+$\mu$ )A = $\lambda$A+$\mu$A
$\lambda$(A+B) = $\lambda$A+$\lambda$B

3 矩阵与矩阵相乘

满足结合律和分配率
(AB)C = A(BC)
（$\lambda$)AB = ($\lambda$A)B
A(B+C) = AB+AC

矩阵的转置

$(A^T{)}^T$ = A
$(A+B{)}^T$ = $A^T$+ $B^T$
$(\lambda A{)}^T$ = $\lambda$$A^T$
$(AB{)}^T$ = $B^T{A}^T$
$|A{|}^T=|A|$

方针的行列式

由方针构成的行列式
$|A^T|$ = $|A|$
$|\lambda A|$ = ${\lambda }^n|A|$
|AB| = $|A||B|$

伴随矩阵

行列式每个位置由代数余子式构成的矩阵转置称之为伴随矩阵
$A{A}^{\ast }$ = $A^{\ast }A$ = |A|E
$(a^{\ast }{)}^{\ast }$ = $|A{|}^{n-2}$
$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
$(AB{)}^{\ast }$ = $B^{\ast }{A}^{\ast }$
$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
伴随矩阵求法定义法 公式法
|A|!=0 即A可逆 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$

逆矩阵

定义 如果对于一个矩阵由AB=BA=E则称A是可逆的，B为A的逆矩阵
唯一： 逆矩阵存在唯一
定理1： 矩阵A可逆，则|A| != 0
定理2： $A^{-1}$ = $\frac{A^{\ast }}{\left|A\right|}$
AB = E 推出 B = $A^{-1}$
推论1：A 可逆 $A^{-1}$亦可逆 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
推论2：$(\lambda A{)}^{-1}$ = $\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
推论3：A,B可逆 AB亦可逆 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
推论4：|$A^{-1}$| = $|A{|}^{-1}$
求法：
1 用定义
2 用伴随
3 用初等变换
公式对比

转置	伴随	逆
$(A^T{)}^T$ = A	$(a^{\ast }{)}^{\ast }$ = $\Vert a{\Vert }^{n-2}$	$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
$(\lambda A{)}^T$ = $\lambda$$A^T$	$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$	$(\lambda A{)}^{-1}$ = $\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
$(AB{)}^T$ = $B^T{A}^T$	$(AB{)}^{\ast }$ = $B^{\ast }{A}^{\ast }$	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
$\Vert A{\Vert }^T=\Vert A^T\Vert$	$\Vert A^{\ast }\Vert =\Vert A{\Vert }^{n-1}$	$\Vert A{\Vert }^{-1}=\Vert A^{-1}\Vert$
$(A+B{)}^T$ = $A^T$+ $B^T$	无	无

克拉默法则的推广

A = 系数矩阵
Aj = 1到j-1列 并 b 并 j+1 到 n

分块矩阵

分块矩阵的性质与普通矩阵类似
可理解为广义矩阵

对角分块矩阵

反对角矩阵
附加：证明矩阵A=O 即证明$A^{T}A=O$
AB != BA
$(A+B{)}^2!=A^2+B^2+2AB$
$A^2-B^2!=(A-B)(A+B)$
$A^2=0$ 不能推出A=0
$A^2=A$ 不能推出A=0或者A=E
AX=AY 且A!=0 不能推出X=Y

• 行阶最简型矩阵
  非零行首个非零元素为1
  并且非0元素该列其他行为0