6782. 2020.08.06【NOI2020】模拟T3 乌拉乌拉

题目

给定一个质数$p$以及一个数列$a_i$，求：${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}f(a_i,a_j)f(a_j,a_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$

其中$f(x,y)$为最小的$i$满足$\exists j,x^i=y^j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$n\le 10^5$

$p\le 10^{18}$

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正解

WC的时候见过类似的……然而这次还是没有做出来……其实主要的问题是不会求阶

看到这个东西首先要想到将每个$a_i$的阶求出来。

求之前先将写个Porllad-Rho将$p-1$给分解了。想到阶的定义：$a$的阶（记作$ord(a)$为最小的$k$满足$a^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，那么把$ord(a)$除以任意一个质因子，这个东西都不成立。

我们考虑分别求$ord(a)$的每个质因子的指数。设现在求质因子$q$，它在$p-1$中的指数为$u_i$，于是我们要求出最小的$t$满足$a^{\frac{p-1}{q_i^u}{q}^t}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

设$x=a^{\frac{p-1}{q_i^u}}$，暴力枚举$t$，每次$x\to x^q$（暴力快速幂），直到它第一次变成$1$为止。

算下时间复杂度：$|P|\lg p+\sum u_i\lg q=|P|\lg p+\lg p$。其中$P$为$p-1$的质因子集合。可以看到后面这一部分根本不是瓶颈。前面算$x$的那一部分就相对有点慢。（不过前面的那部分可以用个简单的分治来求，但是意义不大，所以就不说了）

接下来就是推式子时间：考虑求$f(x,y)$的值。设原根为$g$，则存在$a,b$满足$g^a\equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，$g^b\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。显然$ord(x)=\frac{p-1}{\gcd (a,p-1)}$。

我们要找到最小的$i$满足$\exists j,x^i\equiv y^j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，即$ai\equiv bj(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p-1)$。

由于$j$是任取的，用裴蜀定理可以得到$\gcd (b,p-1)|ai$，进而得到$\frac{\gcd (b,p-1)}{\gcd (a,b,p-1)}|i$，由于要求最小的$i$，所以取等号。

$$f(x,y)f(y,x)=\frac{\gcd (b,p-1)\gcd (a,p-1)}{gcd(a,b,p-1{)}^2}$$

$$=\frac{\frac{p-1}{ord(x)}\frac{p-1}{ord(y)}}{\gcd (\frac{p-1}{ord(x)},\frac{p-1}{ord(y)}{)}^2}$$

$$=\frac{lcm(ord(x),ord(y){)}^2}{ord(x)ord(y)}$$

$$=\frac{ord(x)ord(y)}{\gcd (ord(x),ord(y){)}^2}$$

也就是求${\sum }_d{\sum }_i{\sum }_j[\gcd (a_i,a_j)=d]\frac{ord(a_i)ord(a_j)}{d^2}$

这个东西可以看成个高维的$min$卷积，于是类似FWT、IFWT做高维前缀和，高维差分即可。

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代码

using namespace std;
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 100010
#define ll long long
int n;
ll p;
ll a[N],r[N];
ll gcd(ll a,ll b){
	while (b){
		ll k=a%b;
		a=b,b=k;
	}
	return a;
}

ll multi(ll x,ll y,ll mo){
	//x%=mo,y%=mo;
	ll z=(long double)x*y/mo;
	z=x*y-z*mo;
	if (z>=mo) z-=mo;
	else if (z<0) z+=mo;
	return z;
}
ll qpow(ll x,ll y=p-2,ll mo=p){
	x%=mo;
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=multi(x,x,mo))
		if (y&1)
			r=multi(r,x,mo);
	return r;
}
bool mr(ll v){
	static int p[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
	for (int i=0;i<10;++i){
		if (v==p[i]) return 1;
		if (v%p[i]==0) return 0;
	}
	ll x=v-1,y=0;
	for (;!(x&1);x>>=1,++y);
	for (int i=0;i<10;++i){
		ll t=qpow(p[i],x,v);
		if (t==1 || t==v-1) continue;
		for (int j=1;j<y;++j){
			t=multi(t,t,v);
			if (t==v-1) break;
		}
		if (t!=v-1) return 0;
	}
	return 1;
}
ll pr(ll n){
	while (1){
		ll a=rand()%n,b=a,c=rand()%n,s=1;
		for (int i=1,k=2;i;++i){
			a=(multi(a,a,n)+c)%n;
			if (a==b) break;
			ll t=multi(s,abs(a-b),n);
			if (t==0) return gcd(s,n);
			s=t;
			if (i==k || !(i&127)){
				ll g=gcd(s,n);
				if (g!=1) return g;
				if (i==k)
					k<<=1,b=a;
			}
		}
	}
}
ll q[70],nq,s[70],pro[70];
ll que[70],tail=0;
void divide(ll n){
	if (mr(n)){que[++tail]=n;return;}
	ll d=pr(n);
	divide(d);
	divide(n/d);
}
void initp(){
	divide(p-1);
	sort(que+1,que+tail+1);
	for (int i=1;i<=tail;++i){
		if (que[i]!=q[nq])
			q[++nq]=que[i];
		s[nq]++;
	}
	pro[0]=1;
	for (int i=1;i<=nq;++i)
		pro[i]=pro[i-1]*(s[i]+1);
}
ll ord[N],id[N];
void calco(ll x,ll &ord,ll &id){
	ord=1;
	for (int i=1;i<=nq;++i){
		ll d=qpow(x,(p-1)/qpow(q[i],s[i]));
		if (d==1) continue;
		ll qs=d;
		for (int t=1;t<=s[i];++t){
			qs=qpow(qs,q[i]);
			ord*=q[i];
			id+=pro[i-1];
			if (qs==1) break;
		}
	}
}
ll g[200000];
void fwt(){
	for (int i=1;i<=nq;++i)
		for (int j=0;j<pro[nq];j+=pro[i])
			for (int t=s[i];t>=1;--t)
				for (int k=0;k<pro[i-1];++k)
					(g[j+(t-1)*pro[i-1]+k]+=g[j+t*pro[i-1]+k])%=p;
}
void ifwt(){
	for (int i=1;i<=nq;++i)
		for (int j=0;j<pro[nq];j+=pro[i])
			for (int t=1;t<=s[i];++t)
				for (int k=0;k<pro[i-1];++k)
					(g[j+(t-1)*pro[i-1]+k]+=p-g[j+t*pro[i-1]+k])%=p;
}
ll ans;
void dfs(int x,ll prod,int num){
	if (x>nq){
		ans+=multi(g[num],qpow(prod,2*(p-2)),p);
		return;
	}
	for (int i=0;i<=s[x];++i,prod*=q[x],num+=pro[x-1])
		dfs(x+1,prod,num);
}
int main(){
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("wlwl.in","r",stdin);
	freopen("wlwl.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld",&n,&p);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&a[i]);
	srand(time(0));
	initp();
	for (int i=1;i<=n;++i){
		calco(a[i],ord[i],id[i]);
		(g[id[i]]+=ord[i])%=p;	
	}
	fwt();
	for (int i=0;i<pro[nq];++i)
		g[i]=multi(g[i],g[i],p);
	ifwt();
	dfs(1,1,0);
	ans%=p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}