关于小球放箱子的8种情况解法及证明

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前言

我只是个小蒟蒻，所以数论证明方面嘛$..$比较感性，可能不严谨
倘若有哪些大佬发现有$bug$，那欢迎提醒我

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正题

因为在周末比赛时遇上了一道JZOJ 4786
此题便用到了这个知识，但上网去百度$..$
结果冒出来一堆野鸡，贴公式一个比一个熟练，但对于证明却只口未提
所以为了方便各位，便在感悟后$mark$下

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真·正题

前置

设有$n$个小球，$m$个箱子
设$f[i][j]$表示在有$j$个箱子的情况下放入$i$个小球的方案数

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球同，箱同，允许有空箱：

我们开始考虑动态转移方程：
我们从限制入手：允许有空箱。即可有可无，对于无的情况，假设有$j$个箱子，我们大可以在操作前先保证每个箱子内有$1$个球，所以要放入的球就从$i$变成$i-j$；对于有的情况，就很好考虑了。因为可以有空箱，那么就直接加上一个箱子，让$i$个小球自己去排(因为之前的$dp$必定会使其有解)。
现在动态转移方程便呼之欲出了：
$$\{\begin{array}{c}f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j](i>=j)\\ f[i][j]=f[i][j-1](i<j)\end{array}$$
而初始化则是$f[1][i]=f[0][i]=1(i:0—m)$、$f[i][1]=1(i:1—n)$

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球同，箱同，无空箱：

这种情况我们在上一种已经进行了讨论，所以这里就直接给出方程了
$$f[i][j]=f[i-j][j](i>=j)$$

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球不同，箱同，允许有空箱：

还是喜闻乐见的动态方程讨论：
假如箱子数没有变化，对于新加入的球，无论放在哪个箱子都会是一种全新方案即$j\ast f[i-1][j]$
若箱子数发生变化，那么这个新放入的球就必须待在新来的箱子里
$$f[i][j]=j\ast f[i-1][j]+f[i-1][j-1]$$
而$Ans={\sum }_{i=1}^{m}f[n][i]$

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球不同，箱同，无空箱：

因为不能存在空箱的情况，也就是说我们只有让$m$个箱子都有球才符合，所以按照上一种的方法$dp$，统计答案时就直接是$f[n][m]$

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球同，箱不同，允许有空箱：

对于$n$个球来说，就会存在$n-1$个位置，而因为我们只有$m$个箱子，所以只要$m-1$个位置便可以成功的将小球分成$m$份。但因为可以有空箱，那么情况就会变得十分特殊，所以我们可以强行添加$m$个球使得每个箱子都会有球，也就是不存在空箱的情况了，这下就巧妙的将特殊化为一般
所以就变成了在$n+m-1$个位置中选出$m-1$的方案数，即$C_{n+m-1}^{m-1}$

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球同，箱不同，无空箱：

因为一开始就不存在空箱的情况，所以就不需要添加$m$个虚球，直接用上一种情况一开始提到的就好了，即方案数为$C_{n-1}^{m-1}$

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球不同，箱不同，允许有空箱：

这种情况就十分草率了，对于每个球都可以有$m$个箱子选择且使得方案不重复
所以解就是$n^m$

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球不同，箱不同，无空箱：

让我们再次回到球不同，箱同，无空箱这种情况，与现在这种情况仅仅差了箱子的不同
那么我们大胆地尝试由该种情况直接进行转移。因为考虑的是箱子，所以我们直接对于结果进行考虑。因为箱子的不同，所以在球数一定的情况下，只要换个箱子都会使得方案数改变，而我们可以换且不会发生重复的方案，恰好是$m$个箱子的全排列
最终的方案数为$f[n][m]\ast m!$

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总结

感觉思考时最大的体会就是赖皮
跟讲$NIM$博弈时运用到的反证法一样，很巧妙，在考虑一种情况时，因为可能会出现特殊情况而导致难度上升，所以我们直接将球预先放好，对特殊情况进行降难度打击