025 Roaming (Atcoder 5312)

• 题目链接 Atcoder 5312
• 题意：
  数组a[n]，起初每个位置都为1，可以进行k次操作，把某个位置的1移到另一个位置，k次操作后得到一个最终数组，求最终数组的可能情况数。（可以与原数组重复）对1e9+7取模。
  $3\le n\le 2e5$
  $2\le k\le 1e9$
• 分析：
  原问题等价于n个球装进n个不同的箱子里，至多有k个箱子为空，问方案数。
  下面给出简单的证明：
  对于任意的$2\le k$，均能移动某个数字两次达成k-1个数为0，互换两个数的位置达成k-2个数为0，因此对于小于k的任何个数为0都有可能。与投球问题等价。
  新问题中，若$n<k$所有方案数都能取到，反之则要减去$k+1\to n-1$个空箱对应的方案数。
  总方案数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n+n-1}\right)$，$n-i$个空箱对应的方案数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i-1}{n-1}\right)$，也等于$i$个空箱对应的方案数。（从n个箱子中选$i$个不作为空箱，n个球装进n-i个箱子里，整理一下也可以写成这样$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{n-1}\right)$）
• 代码：

#include 
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=4e5+10;//要求2*n的组合数注意开两倍
const int mod=1e9+7;
ll fac[maxn],inv[maxn];
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x, ll &y){
	if(b){
		gcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b);
	}
	else {
		d=a,x=1,y=0;
	}
}
void init(){
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
ll c(ll n,ll k){
	ll x,y,d;
	ll tmp=(fac[k]*fac[n-k])%mod;
	gcd(tmp,mod,d,x,y);
	y=fac[n]*(x%mod)%mod;
	if(y<0) y+=mod;
	return y;
}
int main(){
	ll n,k;
	init();
	cin>>n>>k;
	ll ans=c(2*n-1,n);
	if(k>=n-1){
		//cout<<0;
		cout<<ans; return 0; 
	}
	else {
		for(int i=1;i<n-k;i++){
			ans-=c(n,i)*c(n-1,i-1)%mod;
			ans+=mod;
			ans%=mod;
		}
		cout<<ans;
	}
}