【NOIP提高组2005】过河

过河 (river)

【问题描述】
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
【输入文件】
输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
【输出文件】
输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
【样例输入】
10
2 3 5
2 3 5 6 7
【样例输出】
2
【数据规模】
对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

题解网上很多，这里主要说下要压缩到多少。有人测试说压105能过全部数据，很多人吐槽考试的时候谁会知道是105呢？

这里主要说下我的证明，如有不足请指出。

设两个石头分别在I点和J点，跳跃的路程为S到T。那么从I点可以跳到I+S到I+T。从J-T到J-S可以跳到J。

显然当I和J相隔非常非常远时，从I到I+T中必然可以经过若干次，然后跳到J-T到J的任意一段。

那么这个距离最少可以等于多少呢？

假设现在从0点开始跳，可以跳到S,2S,3S,4S,5S...

也可以跳到T,2T,3T,4T,5T...

也就是说，从0点开始跳，可以跳到S..T,2S..2T,3S..3T,4S..4T,5S..5T中的任意一段。那么当KT=(K+1)S时，从0点就可以跳到KS..(K+1)T中的任意一点。此时，随着K再次增大到K'，从第0点总是可以跳到KS..k'T的任意一段。所以就可以把大于K的值减小到K，达到优化的目的，即离散化。

K的值为多少呢？观察上式，KT=(K+1)S，解一下就可以了。接下去读者自己完成吧。如果不懂看程序。

#include
#include
#include
using namespace std;
int f[11000],a[11000],stone[1001];
int main(){
	freopen("river.in","r",stdin);
	freopen("river.out","w",stdout);
	int l,s,t,m;
	scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",stone+i);
	int ans=0;
	if (s==t){
		for (int i=1;i<=m;i++) 
			if (stone[i]%s==0) ans++;
		printf("%d",ans);
	}
	else{
		stone[0]=0;
		sort(stone+1,stone+m+1);
		int k=s*t/(t-s)+s+t+1;
		l=0;
		memset(a,0,sizeof(a));	
		for (int i=1;i<=m;i++){
			int tmp=min(stone[i]-stone[i-1],k);
		   l+=tmp,a[l]=1;
		}
		memset(f,0x7f,sizeof(f));
		f[0]=0;
		for (int i=0;i<=l+t;i++)
		  	for (int j=i-t;j<=i-s;j++)
		  	if (j>=0) f[i]=min(f[i],f[j]+a[i]);
		int ans=m;
		for (int i=l;i<=l+t;i++) ans=min(ans,f[i]);
		printf("%d",ans);
	}
	return 0;
}