代数系统

　　例如,,都是代数系统,其中+和·分别表示普通加法和乘法。n(R),＋,·>是代数系统,其中＋和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。n,,>是代数系统,其中Z_n＝{0,1,…,n-1},和分别表示模n的加法和乘法,对于x,y∈Z_n,xy=(x＋y)modn,xy=(xy)modn；也是代数系统,其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算~。

子代数系统

定义10.8 　设V=1,f₂,…f_k>是代数系统,B是S的非空子集,如果B对f₁,f₂,…f_k 都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称1,f₂,…f_k>是V的子代数系统,简称子代数。有时将子代数系统简记为B。

　　例如N是的子代数,因为N对加法运算＋是封闭的。N也是的子代数,因为N对加法运算＋是封闭的,且N中含有代数常数0。N-{0}是的子代数,但不是的子代数,因为的代数常数0N－{0}。

　　从子代数定义不难看出,子代数和原代数不仅具有相同的构成成分,是同类型的代数系统,而且对应的二元运算都具有相同的运算性质。因为任何二元运算的性质如果在原代数上成立,那么在它的子集上显然也是成立的。在这个意义上讲,子代数在许多方面与原代数非常相似,不过可能小一些就是了。

例10.9　设V=,令 nZ={nz|z∈Z},n为自然数,则nZ是V的子代数。

　证：任取nZ中的两个元素nz₁,nz₂(z₁,z₂∈Z),则有nz₁+nz₂=n(z₁+z₂)∈nZ
即 nZ对+运算是封闭的。又0=n·0∈nZ 所以nZ是V的子代数。

　　当n=1和0时,nZ是V的平凡的子代数,其它的都是V的非平凡的真子代数。

习题

1、列出以下运算的运算表：
(1) A={1,2,}，x∈A，x是x的倒数，即x=.
(2) A={1,2,3,4},x,y∈A有xy=max(x,y),max(x,y)是x和y之中较大的数。
2、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：
(1) 整数集合Z和普通的减法运算
(2) 非零整数集合Z^*和普通的除法运算
(3) 全体n×n实矩阵集合M_n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2
(4) 全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2
(5) 正实数集合R⁺和运算，其中运算定义为：
　　　　　　ａ,ｂ∈R⁺,ab=ab-a-b
(6) n∈Z⁺,nZ={nz|z∈Z}.nZ关于普通的加法和乘法运算。
(7) A={a₁,a₂,...,a_n},n≥2.运算定义如下：a_i,a_j∈A,a_ia_j=a_i.
(8) S={2x-1|x∈Z⁺}关于普通的加法和乘法运算。
(9) S={0,1},S关于普通的加法和乘法运算。
(10)S={x|x=2ⁿ,n∈Z⁺}，S关于普通的加法和乘法运算。
3、对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律、结合律和分配律。
4、对习题2中封闭的二元运算找出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元。
5、S=Q×Q,Q为有理数集，*为S上的二元运算，,∈S有
　　　　　　　　*=
　(1) *运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？
　(2) *运算是否有单位元，零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
6、R为实数集，定义以下六个函数f₁,...,f₆.x,y∈R有
　　　　f₁()=x+y,　　　　　f₂()=x-y,
　　　　f₃()=x·y,　　　　 f₄()=max(x,y),
　　　　f₅()=min(x,y), 　　f₆()=|x-y|
　　(1) 指出哪些函数是R上的二元运算。
　　(2) 对所有R上的二元运算说明是否为可交换、可结合、幂等的。
　　(3) 求所有R上二元运算的单位元、零元以及每一个可逆元素的逆元。
7、令S={a,b},上有四个二元运算：*,,·和,分别由表10.8确定。
　　　　　　　　　　　　　表10.8
　　
(1) 这四个运算中哪些运算满足交换律、结合律、幂等律
(2) 求每个运算的单位元、零元及所有可逆元素的逆元。
8、设S={1,2,...,10},问下面定义的运算能否与S构成代数系统?如果能构成代数系统则说明*运算是否满足交换律、结合律，并求*运算的单位元和零元。
(1) x*y=gcd(x,y),gcd(x,y)是x与y的最大公约数。
(2) x*y=lcm(x,y),lcm(x,y)是x与y的最小公倍数。
(3) x*y=大于等于x和y的最小整数。
(4) x*y=质数p的个数，其中x≤p≤y.
9、下面各集合都是N的子集，它们能否构成代数系统V=的子代数：
(1) {x|x∈N∧x可以被16整除}
(2) {x|x∈N∧x与8互质}
(3) {x|x∈N∧x是40的因子}
(4) {x|x∈N∧x是30的倍数}
10、设V=，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
(1) S₁={2n|n∈Z}
(2) S₂={2n＋1|n∈Z}
(3) S₃={－1，0，1}
11、设V₁=<{1,2,3},,1>,其中xy表示取x和y之中较大的数。V₂=<{5,6},*,6>,其中x*y表示取x和y之中较小的数。求出V₁和V₂的所有子代数。指出哪些是平凡子代数，哪些是真子代数。

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主要内容
1.	函数 f：S×S→S 和 f：S→S 分别定义了S上的二元和一元运算。
2.	使用算符表示二元和一元运算有两种表示法：解析公式与运算表。
3.	二元运算的算律（交换律、结合律、幂等律、分配律和吸收律）及其判别方法。
4.	二元运算的单位元、零元和逆元的定义及其唯一性。
5.	构成代数系统的基本成分：非空集合、集合上若干个封闭的二元和一元运算、代数常数。
6.	具有相同构成成分的是同类型的代数系统，不仅构成成分相同而且运算性质相同则是同种的代数系统。
7.	代数系统的非空子集关于原系统中的所有运算和代数常数封闭，则构成子代数。
学习要求
1.	能够判定某个运算是否为给定集合上的二元或一元运算。
2.	能够求出给定二元或一元运算的结果。通过给定解析公式求出相应的运算表。
3.	能指出给定运算所满足的算律（交换律、结合律、幂等律、分配律和吸收律）。
4.	能求出给定运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
5.	判断给定集合和运算能否构成代数系统。
6.	了解同类型和同种代数系统的概念
7.	了解子代数的基本概念

代数系统

主要内容

学习要求

二元运算及其性质

二元运算与一元运算的定义

二元与一元运算的表示

二元运算的性质

代数系统

代数系统的定义与实例

子代数系统

习题

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