线性方程与矩阵

n个变量m个方程的线性方程组

其中 xj 为自变量，aij 为第i个方程中自变量xj 的系数，bi为第i个方程的常数项.
当常数项不全为零时, 称该方程组为非齐次线性方程组; 当常数项全为零时, 称之为齐次线性方程组.
非齐次线性方程组

齐次方程组


以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以 Lj 表示第j个方程)：


非齐次线性方程组的解有三种可能:
1.唯一解；2.无穷多组解；3.无解（不相容)
齐次线性方程组

至少存在一组零解：x₁=x₂=…=x_n=0

矩阵概念的引入

同型矩阵与矩阵相等的概念

矩阵的初等变换

第一种初等变换
互换的矩阵的两行（列），例如：交换第i行和第j行，记作r_ij
第二种初等变换
矩阵的某一行（列）中所有的元素都乘以一个不等于0的常数，例如：第i行乘以k，记作r_i(k)
第三种初等变换
矩阵的某一行（列）中所有的元素都成一同一个倍数加到另一行（列）上。例如：第i行乘以k加大第j行上，记作r_ij(k)

初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记作A~B。
（1）反身性：A~A；
（2）对称性：若A~ B，则B~A；
（3）传递性：若A ~ B，B ~ A，则A ~ C。
数学中把具有上述三条性质的关系称为等价关系。

矩阵运算与解线性方程组

对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方
程组进行初等变换是相互对应的，因此当用
高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩
阵的初等变换进行.


定义满足下面两个条件的矩阵A称为梯形矩阵：
（1）A中元素全为零的行，如果存在，全排在非零行下面；
（2）每个非零行的第一个非零元素（称为主元素）只能出现在上一行主元素的右边.
进一步，如果A为梯形矩阵，且满足下面两个条件：
（1）A的主元素为1；
（2）主元素所在的列，其余元素为零，
则称A为简化梯形矩阵.


定理
任何一个矩阵都可以经过有限次行初等变换
化为简化梯形矩阵.
矩阵A化成的梯形矩阵的非零行数叫做矩阵
A的秩,记作 rank (A) 或 R(A).
方程组解的情况