【机器学习】潜在语义分析LSA和PLSA

1.词袋模型(BOW)

  在自然语言处理NLP领域中，词袋模型（bag of words,BOW）是经典的模型之一。它考虑所有的词汇都装在一个袋子中，任何一篇文档中的单词都可以用袋子中的词汇来描述。如果有10万个词汇，那么每篇文档都可以表示为一个10万维的向量。得到文档向量之后，我们通过可以通过描述向量之间的差异来寻找文档之间的关联。
  但是词袋模型有几个明显的缺点：

1. 稀疏性(Sparseness)：对于大词袋，尤其是包含了生僻字的词袋，文档稀疏性不可避免。
2. 一词多义：一词多义是一种常见的现象，但是BOW模型只统计单词出现的次数，而忽略了他们之间的区别；
3. 多词一义：在不同或相同文档中，可能存在多种单词存在同一个意思。
     为了解决同义词以及文档稀疏性的问题，在BOW模型中引入“主题”的概念，提出了Latent Semantic Analysis (LSA)模型。我们在写文章时，首先想到的是文章的主题，然后才根据主题选择合适的单词来表达自己的观点。

2.潜在语义分析 (LSA)

  LSA也称为LSI(latent semantic index)。在PCA降维中，我们利用SVD做矩阵分解，将样本降到低纬度的空间。在LSA中，我们同样也应用SVD来解决相似的问题，将文档从稀疏的n维空间映射到一个低维（k维）的向量空间，我们称之为隐含语义空间(Latent Semantic Space).
  ps：如对SVD算法有不理解的地方，可以参考【机器学习算法推导】奇异值分解SVD与主成分分析PCA
LSA的算法流程如下：

• （1）分析文档集合，建立词汇-文本矩阵A。
• （2）对词汇-文本矩阵进行奇异值分解。
• （3）使用降维后的矩阵构建潜在语义空间，将原始文本映射到k维空间。

2.1 LSA的优点

• 将一篇文档映射到低维空间，意味着有一些词汇在降维后在同一个点上，也就是说，这些点刻画着同义词。
• 降维可去除部分噪声，使特征更鲁棒；
• 充分利用冗余数据；
• 无监督/完全自动化；
• 与语言无关；

2.2 LSA的不足

• 没有刻画词汇出现次数的概率模型；
• 无法解决多义词的问题；
• SVD的优化目标基于L-2 norm 或者是 Frobenius Norm的，这相当于隐含了对数据的高斯噪声假设。而term出现的次数是非负的，这明显不符合Gaussian假设;
• 对于count vectors 而言，欧式距离表达是不合适的（重建时会产生负数）；
• 特征向量的方向没有对应的物理解释；
• SVD的计算复杂度很高，而且当有新的文档来到时，若要更新模型需重新训练；

3. PLSA(基于概率的LSA)

  对于一个正常人来说，我们是如何构思一篇文章的呢？一般来说我们会先确定我们要写的主题，比如说我正在写的这篇文章是机器学习相关的，可能会涉及到计算机，概率论，机器学习方面的术语，假设线性代数占20%，概率论主题占30%，机器学习主题占50%。而在概率论中，可能会联想到期望，方差，概率等词汇，线性代数可能会联想到矩阵，特征值等词汇，机器学习方面可能会出现模型，权重，空间等词汇。
  我们可以很自然地认为，一篇文章（doc）是由几个主题（topic）组成的，并且不同的主题由该主题下频率较高的一些词汇（word）进行描述。
  我们定义：

• $p(d_m)$表示从文档集合D中选择一个文档$d_m$的概率
• $p(z_k|d_m)$表示从topic set中选择一个主题$z_k$的概率，即给定文档在各个主题的概率分布，服从多项式分布。
• $p(w_n|z_k)$表示从word set中选择一个词汇$w_n$的概率，即给定主题在各个词汇上的概率分布，服从多项式分布。
    可知联合概率分布$$p(d_m,z_k,w_n)=P(d_m)P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)$$
    对于一篇文档，由多个词汇组成，令其为$w=(w_1,w_2,..,w_N)$，生成这篇文档的概率为$$P(w|d_m)=\prod _{n=1}^{N}P(w_n|d_m)$$
    $d_m$和$w_n$的联合概率为
  $$\begin{array}{rl}P(d_m,w_n)& =P(d_m)P(w_n|d_m)\\ & =P(d_m)\sum _{k}P(z_k|d_m)P(w_n|z_k,d_m)\\ & =P(d_m)\sum _{k}P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)\end{array}$$
    我们想要从我们已有的样本，也就是一堆文档和相关词汇中，估计出上面的参数$P(w_n|z_k)$和$P(z_k|d_m)$，于是定义似然函数
  $$\begin{array}{rl}L(\theta )& =\ln \prod _{m=1}^M\prod _{n=1}^{N}P(d_m,w_n{)}^{n(d_m,w_n)}\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln P(d_m,w_n)\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln (P(d_m)\sum _{k}P(z_k|d_m)P(w_n|z_k))\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln \sum _{k}P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)+\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln P(d_m)\end{array}$$
    由于$\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln P(d_m)$不包含我们要求解的参数，我们不妨将其省略，要求解的式子变为
  $$\begin{array}{rl}L(\theta )& =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln \sum _{k}P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\ln \sum _{k}P(w_n,z_k|d_m)\end{array}$$
    由于参数都在ln里面，并且计算量较大，所以我们可以利用EM算法将其“解放”出来。对于PLSA模型来说，有
  $$L(\theta ,{\theta }_i)=\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\sum _{k}P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)\ln P(w_m,z_k|d_m)$$
    其中
  $$\begin{array}{rl}P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)& =\frac{P(z_k,w_n,d_m;{\theta }_i)}{P(w_n,d_m;{\theta }_i)}\\ & =\frac{P(d_m;{\theta }_i)P(z_k|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_k;{\theta }_i)}{P(d_m;{\theta }_i)P(w_n|d_m;{\theta }_i)}\\ & =\frac{P(z_k|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_k;{\theta }_i)}{P(w_n|d_m;{\theta }_i)}\\ & =\frac{P(z_k|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_k;{\theta }_i)}{{\sum }_{j}P(z_j|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_j;{\theta }_i)}\end{array}$$
  $$P(w_m,z_k|d_m)=P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)$$
    E-Step中的式子$L(\theta ,{\theta }_i)$变为
  $$\begin{array}{rl}L(\theta ,{\theta }_i)& =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\sum _k\frac{P(z_k|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_k;{\theta }_i)}{{\sum }_{j}P(z_j|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_j;{\theta }_i)}\ln P(z_k|d_m)P(w_n|z_k)\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N}n(d_m,w_n)\sum _k\frac{P(z_k|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_k;{\theta }_i)}{{\sum }_{j}P(z_j|d_m;{\theta }_i)P(w_n|z_j;{\theta }_i)}(\ln P(z_k|d_m)+\ln P(w_n|z_k))\end{array}$$
    得到式子后，我们将在M-Step中对其进行优化。优化目标为
  $$\begin{gathered} {\theta }_{i+1}=\arg \underset{\theta }{\max }L(\theta ,{\theta }_i) \\ with\sum _{n}P(w_n|z_k)=1,\sum _{k}P(z_k|d_m)=1 \end{gathered}$$
    使用拉格朗日乘子法处理，得到拉格朗日函数为
  $$\mathcal{L}(\theta )=L(\theta ,{\theta }_i)+\sum _k{\alpha }_k(1-\sum _{n}P(w_n|z_k))+\sum _m{\beta }_m(1-\sum _{k}P(z_k|d_m))$$
    上式分别对$P(w_n|z_k)$,$P(z_k|d_m)$求导，得到
  $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial P(w_n|z_k)}=\frac{{\sum }_{m}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{P(w_n|z_k)}-{\alpha }_k=0,1\le n\le N,1\le k\le K$$
  $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial P(z_k|d_m)}=\frac{{\sum }_{n}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{P(z_k|d_m)}-{\beta }_m=0,1\le m\le M,1\le k\le K$$
    解得
  $$P(w_n|z_k)=\frac{{\sum }_{m}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{{\alpha }_k}$$
  $$P(z_k|d_m)=\frac{{\sum }_{n}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{{\beta }_m}$$
    结合${\sum }_{n}P(w_n|z_k)=1,{\sum }_{k}P(z_k|d_m)=1$得到迭代式：
  $$P(w_n|z_k;{\theta }_{i+1})=\frac{{\sum }_{m}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{{\sum }_n{\sum }_{m}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}$$
  $$P(z_k|d_m;{\theta }_{i+1})=\frac{{\sum }_{n}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}{{\sum }_k{\sum }_{n}n(d_m,w_n)P(z_k|w_n,d_m;{\theta }_i)}$$
    得到迭代式后，就可以通过EM算法来迭代得到$P(w_n|z_k)$和$P(z_k|d_m)$，得到我们的模型。